Determinar F(z) :
F(s)=1-e^-2 ss s+1(s+2)(s^2+5 s+6)

Passo 1

Beleza, o enunciado dá a função em Laplace
F(s);=;1 - e^-2ss;s+1(s+2)(s^2+5s+6)
e pede para a gente “determinar ”. Na verdade vamos fazer a transformada inversa de , isto é, achar .
Conteúdo envolvido:
• Transformada inversa de Laplace por frações parciais.
• Propriedade de atraso .
O que precisamos:
  1. decompor em frações parciais a parte sem o ;
  2. inverter cada termo;
  3. aplicar o atraso de 2 s via .

Passo 2

Primeiro, note que
F(s);=;l(1 - e^-2sr);underbraces+1s,(s+2)(s^2+5s+6)H(s)
Focamos em H(s)=s+1s,(s+2)^2,(s+3) . Como s+1s,(s+2)^2,(s+3) =As+Bs+2+C(s+2)^2+Ds+3 ,
A=tfrac112,; B=-tfrac34,; C=tfrac12,; D=tfrac23
Fazemos frações parciais:
Determinando obtemos

Passo 3

Agora invertemos termo a termo (lembre que e ):
Vamos chamar isso de L^-1H(s) =112,1 -34,e^-2t +12,t,e^-2t +23,e^-3t .

Passo 4

Fica então
onde f(t)=L^-1F(s) =L^-1(1-e^-2s),H(s) =h(t);-;h(t-2);u(t-2), é o degrau deslocado.

Resposta

Em forma final, para f(t)= 112 -34e^-2t +12,t,e^-2t +23e^-3t, &0<= t<2,[1em] l(112 -tfrac34e^-2t +tfrac12,t,e^-2t +tfrac23e^-3tr) ;-; l(112 -tfrac34e^-2(t-2) +tfrac12,(t-2)e^-2(t-2) +tfrac23e^-3(t-2)r), &t>=2 :
Pronto! Esse é .

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