Projeto por emulação: Calcule a função de transferência de um controlador discreto C(z) utilizando o método Backward Differences (escolher adequadamente a taxa de amostragem). O processo G(s)=1s e o controlador contínuo é dado por C(s)=K s+as+b, b>a>0. Em malha fechada o sistema deve apresentar uma frequência natural omegan=5 rad / s e uma constante de amortecimento xi=0,7. Fazer o gráfico da saída utilizando o Matlab.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem um processo contínuo
G(s)=1s
e um controlador contínuo
C(s)=K,s+as+b, b>a>0,
Queremos que, em malha fechada, o sistema tenha frequência natural
omegan=5 rad/s
e amortecimento
xi=0,7,
Depois disso, precisamos aplicar o método das Diferenças para Trás (Backward Difference) pra virar um controlador discreto , escolhendo uma taxa de amostragem .
Conteúdo: projeto via alocação de polos (comparar polinômios), discretização pela aproximação e regra prática de amostragem.

Passo 2

Projeto em contínuo por alocação de polos:
  1. A função de transferência em malha fechada fica$$H(s)=\frac{C(s),G(s)}{1+C(s),G(s)}=\frac{K,(s+a)/s}{1+K,(s+a)/s}=\frac{K(s+a)}{s^2+(b+K),s+K,a},. H(s)=C(s),G(s)1+C(s),G(s)=K,(s+a)/s1+K,(s+a)/s =K(s+a)s^2+(b+K),s+K,a, ás2+2\xi\omega_n,s+\omega_n2=s2+2\cdot0{,}7\cdot5,s+52=s^2+7,s+25,. $$
    3) Igualando coeficientes:
    s^2+2xiomegan,s+omegan^2 =s^2+2cdot0,7cdot5,s+5^2 =s^2+7,s+25,
    Daí
    b+K = 7, K,a =25
    Note que, pra K = 7 - b, a=25K=257-b, , temos .

Passo 3

Escolha prática de b=1Longrightarrow K=7-1=6, a=256approx4,167, : na teoria tínhamos , mas dá um impasse (não há que seja > ). Então relaxamos essa exigência e tomamos, por exemplo,

Passo 4

Escolha da taxa de amostragem T=1fs=0,02 s, : regra prática é amostrar pelo menos 10× maior que , logo ,Hz, ou seja

Passo 5

Discretização pelo método Backward Difference:
substituímos
s;approx;z-1T,z,
Então
C(z) =K;z-1Tz+az-1Tz+b =6;(z-1)+a,T,z(z-1)+b,T,z =6;1,08334,z-11,02,z-1,,
onde usamos e .

Passo 6

Como simular no MATLAB (dica de código):
T = 0.02;
K = 6;
a = 25/6;
b = 1;
num = K*[1+a*T  -1];
den = [1+b*T  -1];
Cz = tf(num, den, T, 'variable','z^-1');
Gz = tf([T 0], [1 -1], T);   % G(s)=1/s → G(z)=T z/(z-1)
H  = feedback(Cz*Gz, 1);
step(H)
grid on

Resposta

A função de transferência discreta projetada pelo método Backward Difference, com boxed C(z) =6;1,08334,z-11,02,z-1 com T=0,02 s, , , e  s, é

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