Projeto por emulação: Calcule a função de transferência de um controlador discreto
utilizando o método Backward Differences (escolher adequadamente a taxa de amostragem). O processo
e o controlador contínuo é dado por
. Em malha fechada o sistema deve apresentar uma frequência natural
e uma constante de amortecimento
. Fazer o gráfico da saída utilizando o Matlab.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem um processo contínuo
e um controlador contínuo
Queremos que, em malha fechada, o sistema tenha frequência natural
e amortecimento
Depois disso, precisamos aplicar o método das Diferenças para Trás (Backward Difference) pra virar um controlador discreto
, escolhendo uma taxa de amostragem
.
Conteúdo: projeto via alocação de polos (comparar polinômios), discretização pela aproximação e regra prática de amostragem.
Conteúdo: projeto via alocação de polos (comparar polinômios), discretização pela aproximação
Passo 2
Projeto em contínuo por alocação de polos:
- A função de transferência em malha fechada fica$$H(s)=\frac{C(s),G(s)}{1+C(s),G(s)}=\frac{K,(s+a)/s}{1+K,(s+a)/s}=\frac{K(s+a)}{s^2+(b+K),s+K,a},.
s2+2\xi\omega_n,s+\omega_n2=s2+2\cdot0{,}7\cdot5,s+52=s^2+7,s+25,. $$
3) Igualando coeficientes:
Daí
Note que, pra, temos .
Passo 3
Escolha prática de
: na teoria tínhamos
, mas dá um impasse (não há
que seja >
). Então relaxamos essa exigência e tomamos, por exemplo,
Passo 4
Escolha da taxa de amostragem
: regra prática é amostrar pelo menos 10× maior que
, logo
,Hz, ou seja
Passo 5
Discretização pelo método Backward Difference:
substituímos
substituímos
Então
onde usamos
Passo 6
Como simular no MATLAB (dica de código):
T = 0.02;
K = 6;
a = 25/6;
b = 1;
num = K*[1+a*T -1];
den = [1+b*T -1];
Cz = tf(num, den, T, 'variable','z^-1');
Gz = tf([T 0], [1 -1], T); % G(s)=1/s → G(z)=T z/(z-1)
H = feedback(Cz*Gz, 1);
step(H)
grid on
Resposta
A função de transferência discreta projetada pelo método Backward Difference, com
,
,
e
s, é