Obtenha a transformada de Fourier dos seguintes sinais através de integração e esboce o espectro de Fourier (somente magnitude),
4 sinc(pi t) e^-j pi t

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a transformada de Fourier de
x(t)=4,sinc(pi t),e^-jpi t
Conteúdo da matéria:
  • Definição integral da Transformada de Fourier (TF).
  • Propriedade de modulação (multiplicação no tempo → deslocamento em frequência).
  • Par transformada de .
    O que vamos usar:
  1. .
  2. e sua TF conhecida.
  3. Se , então .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a definição de sinc que usamos aqui:
sinc(pi t)=sin(pi t)pi t,
E lembramos o par fundamental:
integral-infty^inftysin(pi t)pi t,e^-jωtdt ;=; 1,&|ω|pi ;=;rect!l(ω2pir)
Ou seja,
sinc(pi t);x<=ftrightarrow F;rect!l(ω2pir)

Passo 3

Agora extraímos o fator X(ω) =integral-infty^infty 4,sinc(pi t),e^-jpi t,e^-jωt,dt =4integral-infty^infty sinc(pi t),e^-j(ω+pi)t,dt e juntamos o exponential:
O que temos dentro da integral é exatamente a TF de , só que avaliada em .

Passo 4

Pela propriedade de modulação:
sinc(pi t),e^-jpi t ;long<=ftrightarrow; rect!l(,ω+pi,2pir)
Então já podemos escrever
integral-infty^infty sinc(pi t),e^-j(ω+pi)t,dt =rect!l(ω+pi2pir)

Passo 5

Finalmente lembramos do fator X(ω)=4;rect!l(ω+pi2pir) que ficou fora da integral:
Isto é, vale 4 sempre que , e vale 0 caso contrário.

Resposta

Transformada de Fourier:
boxedX(ω)=4;rect!l(ω+pi2pir)
Magnitude do espectro:
|X(ω)| = 4, & -2pi<ω<0, 0, & caso contrário á
Esboço (apenas magnitude):
altura = 4
intervalo não nulo: de a .

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