Obtenha a transformada de Fourier dos seguintes sinais através de integração e esboce o espectro de Fourier (somente magnitude),
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos achar a transformada de Fourier de
Conteúdo da matéria:
- Definição integral da Transformada de Fourier (TF).
- Propriedade de modulação (multiplicação no tempo → deslocamento em frequência).
- Par transformada de
.
O que vamos usar:
-
. -
e sua TF conhecida. - Se
, então .
Passo 2
Primeiro, escrevemos a definição de sinc que usamos aqui:
E lembramos o par fundamental:
Ou seja,
Passo 3
Agora extraímos o fator
e juntamos o exponential:
O que temos dentro da integral é exatamente a TF de
, só que avaliada em
.
Passo 4
Pela propriedade de modulação:
Então já podemos escrever
Passo 5
Finalmente lembramos do fator
que ficou fora da integral:
Isto é,
vale 4 sempre que
, e vale 0 caso contrário.
Resposta
Transformada de Fourier:
Magnitude do espectro:
Esboço (apenas magnitude):
altura = 4
intervalo não nulo: de a
.
altura = 4
intervalo não nulo: de