Determinar os limites indicados a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis
quando
. O conteúdo é limite em
e vamos usar o teste de caminhos para verificar se o limite é único.
Passo 2
Para que
exista, o valor de
ao aproximar
de
por qualquer trajetória deve ser o mesmo. Se encontrarmos dois caminhos que conduzem a valores diferentes, concluímos que o limite não existe.
Passo 3
Considere a reta genérica
, com
constante. Substituindo em
:
Ao levar
sobre essa reta, o valor de
tende a
que depende de
.
Passo 4
Escolhendo diferentes valores de
obtemos resultados distintos. Por exemplo:
Essa variação mostra que não há um único valor-limite.
Passo 5
Como o valor do limite depende da trajetória escolhida, concluímos que
não existe.
Resposta
O limite não existe.