Determinar os limites indicados a seguir:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}}\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é limite em \mathbb{R}^{2} e vamos usar o teste de caminhos para verificar se o limite é único.

Passo 2

Para que \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) exista, o valor de f(x,y) ao aproximar (x,y) de (0,0) por qualquer trajetória deve ser o mesmo. Se encontrarmos dois caminhos que conduzem a valores diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 3

Considere a reta genérica y=mx, com m constante. Substituindo em f:
f(x,mx) =\frac{x^{2}-(mx)^{2}}{x^{2}+(mx)^{2}} =\frac{x^{2}(1-m^{2})}{x^{2}(1+m^{2})} =\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}}.
Ao levar x\to0 sobre essa reta, o valor de f tende a
\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}},
que depende de m.

Passo 4

Escolhendo diferentes valores de m obtemos resultados distintos. Por exemplo:
\text{para }m=0:\;\frac{1-0^{2}}{1+0^{2}}=1, \quad \text{para }m=1:\;\frac{1-1^{2}}{1+1^{2}}=0, \quad \text{para }m=2:\;\frac{1-4}{1+4}=-\tfrac{3}{5}.
Essa variação mostra que não há um único valor-limite.

Passo 5

Como o valor do limite depende da trajetória escolhida, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
não existe.

Resposta

O limite não existe.

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