Determinar os limites indicados a seguir:
\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\\ y \rightarrow k}}\left(1+\frac{y}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{\substack{x\to\infty\y\to k}}\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr)^{x}.
Isso envolve limite de função de duas variáveis quando x\to\infty e simultaneamente y\to k. Vamos usar a transformação via logaritmo para reconhecer a forma clássica do número e.

Passo 2

Como y\to k (constante) e x\to\infty, temos \frac{y}{x}\to0. Assim o termo dentro da potência fica de forma semelhante a \bigl(1+\tfrac{\text{algo pequeno}}{x}\bigr)^{x}, sugerindo a forma do limite \bigl(1+\tfrac{a}{n}\bigr)^{n}\to e^{a}.

Passo 3

Definimos
L=\lim_{\substack{x\to\infty\y\to k}}\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr)^{x}.
Se existir L>0, podemos escrever
\ln L =\lim_{\substack{x\to\infty\y\to k}} x\;\ln\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr).
Agora usamos a expansão em série de Taylor de \ln(1+u) para u próximo de zero:
\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+o(u^{2}).

Passo 4

No nosso caso u=\tfrac{y}{x}. Logo,
\ln\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr) =\frac{y}{x} -\frac{1}{2}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2} +o\Bigl(\frac{1}{x^{2}}\Bigr).
Multiplicando por x,
x\;\ln\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr) =y -\frac{y^{2}}{2x} +x\,o\Bigl(\frac{1}{x^{2}}\Bigr).
Quando x\to\infty e y\to k, temos \tfrac{y^{2}}{2x}\to0 e x\,o(1/x^{2})\to0, restando
\ln L =\lim_{\substack{x\to\infty\y\to k}} \bigl(y + \underbrace{-\tfrac{y^{2}}{2x}+x\,o(1/x^{2})}_{\to0}\bigr) =k.

Resposta

Como \ln L = k, segue que
L = e^{k}.

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