Determinar os limites indicados a seguir:
\lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\\ y \rightarrow+\infty}}\left(\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{\substack{x\to+\infty\y\to+\infty}}\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}.
Isso é um limite de função de duas variáveis quando x e y crescem simultaneamente até +\infty. Para resolver, vamos comparar o numerador e o denominador e mostrar que a razão tende a zero independentemente do caminho.

Passo 2

Observe que, por desigualdade de Cauchy–Schwarz,
x+y \;\le\;\sqrt{1^{2}+1^{2}}\;\sqrt{x^{2}+y^{2}} =\sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Logo,
0 \;\le\;\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \;\le\;\frac{\sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 3

Quando x\to+\infty e y\to+\infty, temos \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to+\infty. Portanto,
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\;\longrightarrow\;0.
Pelo teorema do sanduíche (ou squeeze theorem), segue que
\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}\;\longrightarrow\;0.

Resposta

0

Exercícios relacionados