Determinar os limites indicados a seguir:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x y}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{x y}.
Estamos calculando um limite de função de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto, sabendo que \sin t é sempre limitado entre -1 e 1.

Passo 2

Para todo par (x,y) com xy\neq0 vale
-1 \;\le\;\sin\frac{1}{x y}\;\le 1.
Como x^{2}+y^{2}\ge0, multiplicando essa desigualdade por x^{2}+y^{2} obtemos
-(x^{2}+y^{2})\;\le\;(x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{x y}\;\le\;x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Quando (x,y)\to(0,0), temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(-\,(x^{2}+y^{2})\bigr) =0 \quad\text{e}\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^{2}+y^{2}) =0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, a função (x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{x y}
também tende a 0 quando (x,y)\to(0,0).

Resposta

0

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