Determinar m e n para que os seguintes operadores no R^3 sejam simétricos:
b) f: R^3 R^3, f(x, y, z)=(x+2 z, m x+4 y+n z, 2 x-3 y+z)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os valores de e tais que o operador , definido por , seja simétrico. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador A = 1 & 0 & 2 m & 4 & n 2 & -3 & 1 como uma matriz. Em , qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz de ordem . Os coeficientes de nos dão diretamente os elementos dessa matriz:

Passo 3

Um operador linear é simétrico se a sua matriz for igual à sua transposta. A transposta A^T = 1 & m & 2 0 & 4 & -3 2 & n & 1 de é obtida trocando as linhas pelas colunas:

Passo 4

Para que A12 = A21 A13 = A31 A23 = A32 seja simétrico, devemos ter 0 = m 2 = 2 n = -3 . Isso significa que cada elemento de deve ser igual ao correspondente de :
Substituindo os valores:

Passo 5

Resolvendo as equações:
  1. Da primeira equação:
  2. A segunda equação é sempre verdadeira e não nos dá nova informação.
  3. Da terceira equação:

Resposta

Os valores que tornam o operador simétrico são e .

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