Determinar e para que os seguintes operadores no sejam simétricos:
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os valores de e tais que o operador , definido por , seja simétrico. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Em , qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz de ordem . Os coeficientes de nos dão diretamente os elementos dessa matriz:
Passo 3
Um operador linear é simétrico se a sua matriz for igual à sua transposta. A transposta A^T = 1 & m & 2 0 & 4 & -3 2 & n & 1 de é obtida trocando as linhas pelas colunas:
Passo 4
Para que A12 = A21 A13 = A31 A23 = A32 seja simétrico, devemos ter 0 = m 2 = 2 n = -3 . Isso significa que cada elemento de deve ser igual ao correspondente de :
Substituindo os valores:
Passo 5
Resolvendo as equações:
Da primeira equação:
A segunda equação é sempre verdadeira e não nos dá nova informação.
Da terceira equação:
Resposta
Os valores que tornam o operador simétrico são e .