Verificar, para a matriz
 
que 
  para quaisquer 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se, para a matriz 
  dada, a igualdade 
  é verdadeira para quaisquer vetores 
  e 
  em 
 . Isso está relacionado ao conteúdo de transformações lineares e produtos internos na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa preservar o produto interno e como calcular esses produtos usando a matriz 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que 
  representa o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores 
  e 
 . Para dois vetores em 
 , se 
  e 
 , então:
Passo 3
Agora, queremos verificar se 
 . Isso significa que, ao aplicar a matriz 
  nos vetores 
  e 
 , o produto interno entre os vetores transformados deve ser igual ao produto interno original.
Primeiro, vamos calcular 
  e 
 .
A matriz 
  é:
Aplicando 
  em 
 :
De forma similar, para 
 :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto interno 
 :
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Vamos expandir os produtos:
Agora, somando as duas expressões:
Passo 6
Observamos que 
 . Portanto, a igualdade é satisfeita para quaisquer vetores 
  e 
  em 
 .
Resposta
A igualdade 
  é verdadeira para quaisquer 
 .