Determinar a massa do sólido:
V=\left\{(x, y, z): x^{2} \leq 2 y \wedge y+z \geq 1 \wedge 2 y+z \leq 2\right\}, tal que em cada ponto a densidade é \rho(x, y, z)=y.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se a massa do sólido V quando a densidade em cada ponto é \rho(x,y,z)=y.
  • O sólido V é definido pelas três desigualdades:
    • x^{2}\leq 2y,
    • y+z\geq 1,
    • 2y+z\leq 2.
Lista clara das perguntas e informações dadas:
  • Pergunta: calcular a massa M do sólido V com densidade \rho(x,y,z)=y.
  • Informações relevantes:
    • A desigualdade x^{2}\leq 2y implica que \;y\geq \dfrac{x^{2}}{2}.
    • As duas últimas desigualdades são planos que fixam limites para z: a partir de y+z\geq1 tem-se z\geq 1-y, e a partir de 2y+z\leq2 tem-se z\leq 2-2y.
  • Ainda não se escolheu a ordem de integração nem os limites finais — isso vem nos passos seguintes.

Passo 2

Escolha do método (razão prática): usar a fórmula da massa por integral tripla no sistema cartesiano, porque os dados do enunciado estão em coordenadas x,y,z e as superfícies que limitam V são fáceis de expressar em z em função de y e de y em função de x.
Lembrete da fórmula principal (aula rápida):
  • A massa de um sólido V com densidade \rho(x,y,z) é dada por
M=\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV.
Aqui \rho(x,y,z)=y, então
M=\iiint_{V} y\,dV.
Vamos escrever dV em coordenadas cartesianas como dz\,dy\,dx (ou outra ordem conveniente) e determinar os limites.

Passo 3

Determinar limites para z, y e x a partir das desigualdades:
  • Das desigualdades envolvendo z:
    • De y+z\geq1 obtemos z\geq 1-y.
    • De 2y+z\leq2 obtemos z\leq 2-2y.
      Portanto, para um dado par (x,y), z varia entre
    1-y \leq z \leq 2-2y.
  • Para que esse intervalo em z exista é preciso 1-y\leq 2-2y. Isso dá: 1-y \leq 2-2y \quad\Longrightarrow\quad y\leq 1.
  • Da desigualdade x^{2}\leq 2y obtemos y\geq \dfrac{x^{2}}{2}.
    Juntando com y\leq 1, para um x fixo o y varia entre \frac{x^{2}}{2} \leq y \leq 1.Isso só é possível se \dfrac{x^{2}}{2}\leq 1, ou seja x^{2}\leq 2, logo -\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}.
  • Resumo dos limites em ordem dz\,dy\,dx:
    • x varia em \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right],
    • para cada x, y varia em \left[\dfrac{x^{2}}{2},\,1\right],
    • para cada (x,y), z varia em \left[\,1-y,\,2-2y\,\right].

Passo 4

Escrever a integral tripla para a massa com os limites encontrados:
M=\int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\int_{y=\frac{x^{2}}{2}}^{1}\int_{z=1-y}^{2-2y} y\;dz\,dy\,dx.
Explicação didática: integra-se primeiro sobre z porque os limites em z são expressos diretamente em termos de y (são planos), depois sobre y que depende de x através da parábola y=\dfrac{x^{2}}{2}, e por fim sobre x.

Passo 5

Integrar em z (passo direto e simples):
Como y é constante quando integramos em z,
\int_{z=1-y}^{2-2y} y\;dz = y\bigl[z\bigr]_{z=1-y}^{z=2-2y} = y\left((2-2y)-(1-y)\right).
Calcular a diferença:
(2-2y)-(1-y)=1-y.
Logo a integral em z fica
y(1-y).
Assim a massa reduz-se a uma integral dupla:
M=\int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\int_{y=\frac{x^{2}}{2}}^{1} y(1-y)\;dy\,dx.

Passo 6

Integrar em y: passo a passo da antiderivada.
Primeiro expandir o integrando ou integrar termo a termo:
y(1-y)=y - y^{2}.
Uma primitiva de y - y^{2} é
\int (y - y^{2})\,dy = \frac{1}{2}y^{2} - \frac{1}{3}y^{3}.
Avaliando entre y=\dfrac{x^{2}}{2} e y=1 dá:
\left.\left(\frac{1}{2}y^{2} - \frac{1}{3}y^{3}\right)\right|_{y=\frac{x^{2}}{2}}^{y=1} = \left(\frac{1}{2}\cdot 1^{2}-\frac{1}{3}\cdot 1^{3}\right) - \left(\frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{2}-\frac{1}{3}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{3}\right).
Calcule cada parte:
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
E para o termo com x:
\frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{x^{4}}{8}, \qquad \frac{1}{3}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{6}}{8}=\frac{x^{6}}{24}.
Portanto a expressão interna vale
\frac{1}{6}-\left(\frac{x^{4}}{8}-\frac{x^{6}}{24}\right) = \frac{1}{6}-\frac{x^{4}}{8}+\frac{x^{6}}{24}.
Assim ficamos com a integral em x apenas:
M=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{6}-\frac{x^{4}}{8}+\frac{x^{6}}{24}\right)\,dx.

Passo 7

Integrar em x. Observação de simetria para simplificar:
  • O integrando \dfrac{1}{6}-\dfrac{x^{4}}{8}+\dfrac{x^{6}}{24} é uma função par (somente potências pares de x aparecem), logo
\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{\sqrt{2}} f(x)\,dx.
Então
M = 2\int_{0}^{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{6}-\frac{x^{4}}{8}+\frac{x^{6}}{24}\right)\,dx.
Calcular antiderivadas termo a termo:
\int \frac{1}{6}\,dx = \frac{x}{6}, \qquad \int -\frac{x^{4}}{8}\,dx = -\frac{x^{5}}{40}, \qquad \int \frac{x^{6}}{24}\,dx = \frac{x^{7}}{168}.
Então a primitiva é
F(x)=\frac{x}{6}-\frac{x^{5}}{40}+\frac{x^{7}}{168}.
Avaliar entre 0 e \sqrt{2}:
  • Para x=0 o valor é 0.
  • Para x=\sqrt{2} (usar \sqrt{2}=2^{1/2}): (\sqrt{2})^{5}=2^{5/2}=4\sqrt{2},\qquad (\sqrt{2})^{7}=2^{7/2}=8\sqrt{2}.Substituindo: F(\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{4\sqrt{2}}{40}+\frac{8\sqrt{2}}{168}.Simplificar cada fração: -\frac{4\sqrt{2}}{40}=-\frac{\sqrt{2}}{10},\qquad \frac{8\sqrt{2}}{168}=\frac{\sqrt{2}}{21}.Portanto F(\sqrt{2})=\sqrt{2}\!\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{21}\right).
Combinar as frações dentro do parêntese usando denominador comum 210:
\frac{1}{6}=\frac{35}{210},\quad -\frac{1}{10}=-\frac{21}{210},\quad \frac{1}{21}=\frac{10}{210}.
Somando:
\frac{35-21+10}{210}=\frac{24}{210}=\frac{4}{35}.
Logo
F(\sqrt{2})=\sqrt{2}\cdot\frac{4}{35}=\frac{4\sqrt{2}}{35}.
Finalmente, lembrando o fator 2 da simetria,
M = 2\cdot F(\sqrt{2}) = 2\cdot\frac{4\sqrt{2}}{35} = \frac{8\sqrt{2}}{35}.

Passo 8

Resumo final e cheque rápido de plausibilidade:
  • A massa ficou positiva, como esperado, porque a densidade \rho=y é não negativa no domínio (note que y varia entre \dfrac{x^{2}}{2}\ge 0 e 1).
  • A expressão \dfrac{8\sqrt{2}}{35} é um número pequeno e positivo, razoável para um sólido limitado por essas superfícies.

Resposta

\dfrac{8\sqrt{2}}{35}

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