Determinar a massa do sólido: V=\left\{(x, y, z): x^{2} \leq 2 y \wedge y+z \geq 1 \wedge 2 y+z \leq 2\right\}, tal que em cada ponto a densidade é \rho(x, y, z)=y.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
Pede-se a massa do sólido V quando a densidade em cada ponto é \rho(x,y,z)=y.
O sólido V é definido pelas três desigualdades:
x^{2}\leq 2y,
y+z\geq 1,
2y+z\leq 2.
Lista clara das perguntas e informações dadas:
Pergunta: calcular a massa M do sólido V com densidade \rho(x,y,z)=y.
Informações relevantes:
A desigualdade x^{2}\leq 2y implica que \;y\geq \dfrac{x^{2}}{2}.
As duas últimas desigualdades são planos que fixam limites para z: a partir de y+z\geq1 tem-se z\geq 1-y, e a partir de 2y+z\leq2 tem-se z\leq 2-2y.
Ainda não se escolheu a ordem de integração nem os limites finais — isso vem nos passos seguintes.
Passo 2
Escolha do método (razão prática): usar a fórmula da massa por integral tripla no sistema cartesiano, porque os dados do enunciado estão em coordenadas x,y,z e as superfícies que limitam V são fáceis de expressar em z em função de y e de y em função de x.
Lembrete da fórmula principal (aula rápida):
A massa de um sólido V com densidade \rho(x,y,z) é dada por
M=\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV.
Aqui \rho(x,y,z)=y, então
M=\iiint_{V} y\,dV.
Vamos escrever dV em coordenadas cartesianas como dz\,dy\,dx (ou outra ordem conveniente) e determinar os limites.
Passo 3
Determinar limites para z, y e x a partir das desigualdades:
Das desigualdades envolvendo z:
De y+z\geq1 obtemos z\geq 1-y.
De 2y+z\leq2 obtemos z\leq 2-2y.
Portanto, para um dado par (x,y), z varia entre
1-y \leq z \leq 2-2y.
Para que esse intervalo em z exista é preciso 1-y\leq 2-2y. Isso dá:1-y \leq 2-2y \quad\Longrightarrow\quad y\leq 1.
Da desigualdade x^{2}\leq 2y obtemos y\geq \dfrac{x^{2}}{2}.
Juntando com y\leq 1, para um x fixo o y varia entre\frac{x^{2}}{2} \leq y \leq 1.Isso só é possível se \dfrac{x^{2}}{2}\leq 1, ou seja x^{2}\leq 2, logo-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}.
Resumo dos limites em ordem dz\,dy\,dx:
x varia em \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right],
para cada x, y varia em \left[\dfrac{x^{2}}{2},\,1\right],
para cada (x,y), z varia em \left[\,1-y,\,2-2y\,\right].
Passo 4
Escrever a integral tripla para a massa com os limites encontrados:
Explicação didática: integra-se primeiro sobre z porque os limites em z são expressos diretamente em termos de y (são planos), depois sobre y que depende de x através da parábola y=\dfrac{x^{2}}{2}, e por fim sobre x.
Para x=\sqrt{2} (usar \sqrt{2}=2^{1/2}):(\sqrt{2})^{5}=2^{5/2}=4\sqrt{2},\qquad (\sqrt{2})^{7}=2^{7/2}=8\sqrt{2}.Substituindo:F(\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{4\sqrt{2}}{40}+\frac{8\sqrt{2}}{168}.Simplificar cada fração:-\frac{4\sqrt{2}}{40}=-\frac{\sqrt{2}}{10},\qquad \frac{8\sqrt{2}}{168}=\frac{\sqrt{2}}{21}.PortantoF(\sqrt{2})=\sqrt{2}\!\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{21}\right).
Combinar as frações dentro do parêntese usando denominador comum 210: