Determinar o momento de inércia em ordem ao eixo oz do sólido
, sendo
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede: determinar o momento de inércia do sólido
em relação ao eixo , com densidade . - Região
dada por: -
, -
, -
.
-
Observações imediatas que vêm do enunciado (dados relevantes):
- A desigualdade
implica que devemos ter (porque só é real para ). Assim, implicitamente o domínio de é . - O sólido é um “bloco” em
(entre e ), enquanto em a altura depende de pela função .
Passo 2
Definição do momento de inércia e escolha da expressão que vamos integrar.
- Para um corpo com densidade espacial
, o momento de inércia em relação ao eixo é
onde
é a distância de um ponto
ao eixo
. Aqui a distância ao eixo
é a projeção no plano
, logo
- Substituindo
, obtemos a integranda
Portanto
Explicação curta: multiplicamos a massa localizada em cada ponto (densidade vezes volume infinitesimal) pelo quadrado da distância ao eixo para somar toda a contribuição ao momento de inércia.
Passo 3
Escolha da ordem de integração e escrita do integral iterado.
- Como o limite superior em
depende de ( ), é conveniente integrar primeiro em , depois em (pois seus limites são constantes), e finalmente em . - Os limites são:
, , . - O integral fica
Passo 4
Integração em
(primeira integração).
- Tratamos
como constante em relação a . A primitiva de é . - Então
- Como
, obtemos
Portanto após integrar em
o integral fica
Passo 5
Integração em
(segunda integração).
- Integramos termo a termo em
:
- Calculando as integrais simples:
-
. -
.
-
- Logo
Agora reduzimos a integral dupla para uma integral simples em
:
Passo 6
Integração em
(terceira integração) e avaliação.
- Calculamos a primitiva:
- Uma primitiva de
é . - Uma primitiva de
é .
- Uma primitiva de
- Assim
- Avaliando em
: -
- Somando obtemos
. - Portanto
.