Determinar o momento de inércia em ordem ao eixo oz do sólido V=\{(x, y, z): x \leq 2 \wedge 0 \leq y \leq 1 \wedge 0 \leq z \leq \sqrt{6 x}\}, sendo \rho(x, y, z)=z

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: determinar o momento de inércia do sólido V em relação ao eixo oz, com densidade \rho(x,y,z)=z.
  • Região V dada por:
    • x \leq 2,
    • 0 \leq y \leq 1,
    • 0 \leq z \leq \sqrt{6x}.
Observações imediatas que vêm do enunciado (dados relevantes):
  • A desigualdade 0 \leq z \leq \sqrt{6x} implica que devemos ter x\geq 0 (porque \sqrt{6x} só é real para x\geq 0). Assim, implicitamente o domínio de x é 0 \leq x \leq 2.
  • O sólido é um “bloco” em y (entre 0 e 1), enquanto em z a altura depende de x pela função \sqrt{6x}.

Passo 2

Definição do momento de inércia e escolha da expressão que vamos integrar.
  • Para um corpo com densidade espacial \rho(x,y,z), o momento de inércia em relação ao eixo oz é
I_z=\iiint_{V} r^2\,\rho(x,y,z)\,dV,
onde r é a distância de um ponto (x,y,z) ao eixo oz. Aqui a distância ao eixo oz é a projeção no plano xy, logo
r^2 = x^2 + y^2.
  • Substituindo \rho(x,y,z)=z, obtemos a integranda
(x^2+y^2)\,z.
Portanto
I_z=\iiint_{V} (x^2+y^2)\,z\,dV.
Explicação curta: multiplicamos a massa localizada em cada ponto (densidade vezes volume infinitesimal) pelo quadrado da distância ao eixo para somar toda a contribuição ao momento de inércia.

Passo 3

Escolha da ordem de integração e escrita do integral iterado.
  • Como o limite superior em z depende de x ( z\leq\sqrt{6x}), é conveniente integrar primeiro em z, depois em y (pois seus limites são constantes), e finalmente em x.
  • Os limites são: 0\leq z\leq\sqrt{6x}, 0\leq y\leq 1, 0\leq x\leq 2.
  • O integral fica
I_z=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{\sqrt{6x}} (x^2+y^2)\,z \; dz\, dy\, dx.

Passo 4

Integração em z (primeira integração).
  • Tratamos (x^2+y^2) como constante em relação a z. A primitiva de z é \tfrac{1}{2}z^2.
  • Então
\int_{z=0}^{\sqrt{6x}} (x^2+y^2)\,z \; dz = (x^2+y^2)\left[\tfrac{1}{2}z^2\right]_{0}^{\sqrt{6x}} = (x^2+y^2)\cdot \tfrac{1}{2}\bigl(\sqrt{6x}\,\bigr)^2.
  • Como \bigl(\sqrt{6x}\,\bigr)^2 = 6x, obtemos
(x^2+y^2)\cdot \tfrac{1}{2}\cdot 6x = (x^2+y^2)\cdot 3x = 3x^3 + 3x\,y^2.
Portanto após integrar em z o integral fica
I_z=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{1}\bigl(3x^3 + 3x\,y^2\bigr)\; dy\, dx.

Passo 5

Integração em y (segunda integração).
  • Integramos termo a termo em y:
\int_{y=0}^{1} \bigl(3x^3 + 3x\,y^2\bigr)\; dy = 3x^3\int_{0}^{1} dy + 3x\int_{0}^{1} y^2 dy.
  • Calculando as integrais simples:
    • \int_{0}^{1} dy = 1.
    • \int_{0}^{1} y^2 dy = \left[\tfrac{1}{3}y^3\right]_0^1 = \tfrac{1}{3}.
  • Logo
\int_{y=0}^{1} \bigl(3x^3 + 3x\,y^2\bigr)\; dy = 3x^3\cdot 1 + 3x\cdot \tfrac{1}{3} = 3x^3 + x.
Agora reduzimos a integral dupla para uma integral simples em x:
I_z=\int_{x=0}^{2} \bigl(3x^3 + x\bigr)\; dx.

Passo 6

Integração em x (terceira integração) e avaliação.
  • Calculamos a primitiva:
    • Uma primitiva de 3x^3 é 3\cdot \tfrac{x^4}{4}=\tfrac{3}{4}x^4.
    • Uma primitiva de x é \tfrac{1}{2}x^2.
  • Assim
\int_{0}^{2} \bigl(3x^3 + x\bigr)\; dx = \left[\tfrac{3}{4}x^4 + \tfrac{1}{2}x^2\right]_{0}^{2}.
  • Avaliando em x=2:
    • \tfrac{3}{4} \cdot 2^4 = \tfrac{3}{4}\cdot 16 = 3\cdot 4 = 12.
    • \tfrac{1}{2}\cdot 2^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 4 = 2.
  • Somando obtemos 12 + 2 = 14.
  • Portanto I_z = 14.

Resposta

I_z=14

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