Determinar se as matrizes A e B, abaixo, são não - singulares, e se isso for afirmativo, verificar se elas são inversas uma da outra.
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}8 & 5 \\\\ 3 & 2\end{array}\right] e \mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}2 & -5 \\\\ -3 & 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 2×2 e pede duas coisas: (i) determinar se cada uma é não‑singular (isto é, invertível) e (ii) caso sejam invertíveis, verificar se uma é a inversa da outra.
As matrizes fornecidas são
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}8 & 5 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad \mathrm{B}=\begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] -3 & 8\end{pmatrix}.]

Passo 2

Primeiro: como testar se uma matriz 2\times2 é não‑singular? Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Uma matriz é não‑singular (invertível) se, e somente se, \det(M)\neq0.
Vamos calcular \det(\mathrm{A}). Aplicando a fórmula com a=8, b=5, c=3, d=2:
\det(\mathrm{A})=8\cdot2-5\cdot3.
Agora as contas passo a passo:
8\cdot2=16, \qquad 5\cdot3=15,
logo
\det(\mathrm{A})=16-15=1.
Observe que \det(\mathrm{A})=1, que é diferente de zero, portanto \mathrm{A} é invertível (não‑singular).]

Passo 3

Calcular \det(\mathrm{B}) usando a mesma fórmula. Para \mathrm{B} temos a=2, b=-5, c=-3, d=8:
\det(\mathrm{B})=2\cdot8-(-5)\cdot(-3).
Calcule cada termo:
2\cdot8=16, \qquad (-5)\cdot(-3)=15,
portanto
\det(\mathrm{B})=16-15=1.
Logo \det(\mathrm{B})=1\neq0, então \mathrm{B} também é invertível.

Passo 4

Agora: qual é a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2? Para
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
com \det(M)\neq0, tem‑se
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando essa fórmula à matriz \mathrm{A}: já vimos que \det(\mathrm{A})=1, então
\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] -3 & 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] -3 & 8\end{pmatrix}.
Comparando, este resultado é exatamente a matriz \mathrm{B}. Assim, pela fórmula direta, \mathrm{A}^{-1}=\mathrm{B}.]

Passo 5

Uma verificação alternativa e concreta (útil na prova) é multiplicar \mathrm{A} por \mathrm{B} e ver se obtém a matriz identidade. Vamos calcular \mathrm{A}\mathrm{B} com cada entrada detalhada.
Multiplicação linha por coluna:
\mathrm{A}\mathrm{B}= \begin{pmatrix}8 & 5 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] -3 & 8\end{pmatrix}.
Entradas:
(\mathrm{A}\mathrm{B})_{11}=8\cdot2+5\cdot(-3)=16-15=1,
(\mathrm{A}\mathrm{B})_{12}=8\cdot(-5)+5\cdot8=-40+40=0,
(\mathrm{A}\mathrm{B})_{21}=3\cdot2+2\cdot(-3)=6-6=0,
(\mathrm{A}\mathrm{B})_{22}=3\cdot(-5)+2\cdot8=-15+16=1.
Portanto
\mathrm{A}\mathrm{B}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=\mathrm{I}.
Para ser totalmente cuidadoso, verifica‑se também \mathrm{B}\mathrm{A}:
\mathrm{B}\mathrm{A}= \begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] -3 & 8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}8 & 5 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}.
Entradas:
(\mathrm{B}\mathrm{A})_{11}=2\cdot8+(-5)\cdot3=16-15=1,
(\mathrm{B}\mathrm{A})_{12}=2\cdot5+(-5)\cdot2=10-10=0,
(\mathrm{B}\mathrm{A})_{21}=(-3)\cdot8+8\cdot3=-24+24=0,
(\mathrm{B}\mathrm{A})_{22}=(-3)\cdot5+8\cdot2=-15+16=1.
Logo
\mathrm{B}\mathrm{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=\mathrm{I}.]

Resposta

Ambas as matrizes são não‑singulares: \det(\mathrm{A})=1 e \det(\mathrm{B})=1.
Sim — \mathrm{B}=\mathrm{A}^{-1} e \mathrm{A}=\mathrm{B}^{-1} (pois \mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{I} e \mathrm{B}\mathrm{A}=\mathrm{I}).

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