Determine, se possível o determinante de cada matriz, caso não seja possível justifique
\begin{aligned} & \mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ -5 & 4 \end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 33 \end{array}\right] ; \mathrm{C}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ -1 & -3 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{array}\right] ; D=\left[\begin{array}{ccc} -3 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 5 \end{array}\right] \\ & \mathrm{E}=\left[\begin{array}{cccc} -2 & 31 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -6 & -1 \\ -2 & -4 & 12 & 2 \\ 6 & 19 & -5 & 7 \end{array}\right] ; F=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{array}\right] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar, se possível, o determinante de cada matriz; caso não seja possível justificar.” As matrizes dadas são (estou só transcrevendo os dados que o enunciado deu):
  • A=\begin{bmatrix}-2 & 1\\[4pt]-5 & 4\end{bmatrix}.
  • B=\begin{bmatrix}3 & 1 & 2\\[4pt]2 & 2 & 1\\[4pt]-2 & 1 & 33\end{bmatrix}.
  • C=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\[4pt]-1 & -3 & 2\\[4pt]3 & 4 & 1\end{bmatrix}.
  • D=\begin{bmatrix}-3 & 0 & 2\\[4pt]1 & -2 & 5\end{bmatrix}.
  • E=\begin{bmatrix}-2 & 31 & -1 & 0\\[4pt]1 & 2 & -6 & -1\\[4pt]-2 & -4 & 12 & 2\\[4pt]6 & 19 & -5 & 7\end{bmatrix}.
  • F=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 & 7\\[4pt]0 & 1 & 3 & -5\\[4pt]0 & 0 & 2 & 6\\[4pt]0 & 0 & 0 & 8\end{bmatrix}.
O que devo entregar: o valor do determinante de cada matriz, ou justificar por que não existe determinante (por exemplo se a matriz não for quadrada ou se houver razão que torne o determinante igual a zero).]

Passo 2

Determinante de 2\times2 — fórmula e aplicação em A.
Fórmula: para uma matriz 2\times2
\begin{bmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{bmatrix}
o determinante é dado por \det=\;ad-bc. Aqui \,a,b,c,d são as entradas da matriz: a é o elemento da primeira linha e primeira coluna, b primeira linha segunda coluna, etc. Essa fórmula vem da definição e é a forma mais direta para 2\times2.
Aplicando a A: temos a=-2, b=1, c=-5, d=4. Então
\det(A)=(-2)\cdot 4 - 1\cdot(-5).
Calcule passo a passo:
(-2)\cdot 4 = -8,\qquad 1\cdot(-5) = -5,
portanto
\det(A) = -8 - (-5) = -8 + 5 = -3.]

Passo 3

Determinante de 3\times3 — método de Sarrus e aplicação em B.
Método de Sarrus (prático para 3\times3): para
\begin{bmatrix}a & b & c\\[4pt]d & e & f\\[4pt]g & h & i\end{bmatrix}
faz-se a soma dos três produtos das diagonais que “descem para a direita” e subtrai-se a soma dos três produtos das diagonais que “sobem para a direita”:
\det = aei + bfg + cdh \;-\; (ceg + bdi + afh).
Isso é apenas uma forma organizada de desenvolver pela primeira linha, mas é rápida e fácil de aplicar.
Para B identifiquemos as letras:
a=3,\\ b=1,\\ c=2,\\ d=2,\\ e=2,\\ f=1,\\ g=-2,\\ h=1,\\ i=33.
Calcule cada termo:
  • aei = 3\cdot 2\cdot 33 = 198.
  • bfg = 1\cdot 1\cdot (-2) = -2.
  • cdh = 2\cdot 2\cdot 1 = 4.
    Soma das diagonais descendentes:
198 + (-2) + 4 = 200.
Agora as que serão subtraídas:
  • ceg = 2\cdot 2\cdot (-2) = -8.
  • bdi = 1\cdot 2\cdot 33 = 66.
  • afh = 3\cdot 1\cdot 1 = 3.
    Soma:
-8 + 66 + 3 = 61.
Finalmente
\det(B)=200 - 61 = 139.]

Passo 4

Determinante de 3\times3 — aplicação em C com método de Sarrus.
Para C temos:
a=1,\\ b=2,\\ c=1,\\ d=-1,\\ e=-3,\\ f=2,\\ g=3,\\ h=4,\\ i=1.
Calcule as diagonais descendentes:
  • aei = 1\cdot(-3)\cdot 1 = -3.
  • bfg = 2\cdot 2\cdot 3 = 12.
  • cdh = 1\cdot(-1)\cdot 4 = -4.
    Soma: -3 + 12 - 4 = 5.
Diagonais que serão subtraídas:
  • ceg = 1\cdot(-3)\cdot 3 = -9.
  • bdi = 2\cdot(-1)\cdot 1 = -2.
  • afh = 1\cdot 2\cdot 4 = 8.
    Soma: -9 -2 + 8 = -3.
Logo
\det\text{(C)} = 5 - (-3) = 8.

Passo 5

Matriz D é retangular — justificativa de por que não é possível calcular determinante.
Determinante está definido apenas para matrizes quadradas (mesmo número de linhas e colunas). A matriz D tem 2 linhas e 3 colunas, isto é, é uma matriz 2\times3. Portanto não existe determinante de D no sentido usual: o determinante não está definido para matrizes não quadradas. Conclusão: não é possível calcular um determinante para D porque a matriz não é quadrada.

Passo 6

Determinante de E — observar dependência linear entre linhas (ou eliminar para ver que a linha fica zero).
Uma maneira rápida e didática: olhar as linhas originais de E:
\begin{aligned} R_1 &= (-2,\\\ 31,\\\ -1,\\\ 0),\\[4pt] R_2 &= (1,\\\ 2,\\\ -6,\\\ -1),\\[4pt] R_3 &= (-2,\\\ -4,\\\ 12,\\\ 2),\\[4pt] R_4 &= (6,\\\ 19,\\\ -5,\\\ 7). \end{aligned}
Note que R_3 é exatamente -2 vezes R_2:
-2\cdot R_2 = -2\cdot(1,\\\ 2,\\\ -6,\\\ -1) = (-2,\\\ -4,\\\ 12,\\\ 2) = R_3.
Quando uma linha é múltiplo escalar de outra linha, as linhas são linearmente dependentes. Em qualquer matriz quadrada com duas linhas (ou colunas) linearmente dependentes, o determinante é zero — geometrica e algebricamente, as linhas não formam um conjunto de vetor base do espaço, então a “hiper-área” (determinante) é zero.
Alternativa por eliminação: se ao aplicar operações elementares do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” (essas operações não alteram o determinante) chega-se a uma linha nula, então o determinante é zero. De fato, somando 2 vezes a segunda linha à terceira linha na matriz original obtém-se a linha nula, confirmando \det(E)=0.
Portanto
\det(E)=0.]

Passo 7

Determinante de F — propriedade de matrizes triangulares.
Teorema útil: se uma matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Isso vale porque ao triangularizar sem trocar linhas (já está triangular) não há escalações adicionais; e a definição confirma que os termos fora da diagonal não contribuem ao produto principal na expansão.
A matriz F é triangular superior com diagonal \,1,\,1,\,2,\,8. Então
\det(F)=1\cdot 1\cdot 2\cdot 8.
Calcule:
1\cdot 1 = 1,\qquad 1\cdot 2 = 2,\qquad 2\cdot 8 = 16.
Logo
\det(F)=16.

Resposta

\det(A)=-3
\det(B)=139
\det\text{(C)}=8
\det(D) não definida (matriz não quadrada)
\det(E)=0
\det(F)=16

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