O enunciado pede: “Determinar, se possível, o determinante de cada matriz; caso não seja possível justificar.” As matrizes dadas são (estou só transcrevendo os dados que o enunciado deu):
O que devo entregar: o valor do determinante de cada matriz, ou justificar por que não existe determinante (por exemplo se a matriz não for quadrada ou se houver razão que torne o determinante igual a zero).]
Passo 2
Determinante de 2\times2 — fórmula e aplicação em A.
Fórmula: para uma matriz 2\times2
\begin{bmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{bmatrix}
o determinante é dado por \det=\;ad-bc. Aqui \,a,b,c,d são as entradas da matriz: a é o elemento da primeira linha e primeira coluna, b primeira linha segunda coluna, etc. Essa fórmula vem da definição e é a forma mais direta para 2\times2.
Aplicando a A: temos a=-2, b=1, c=-5, d=4. Então
\det(A)=(-2)\cdot 4 - 1\cdot(-5).
Calcule passo a passo:
(-2)\cdot 4 = -8,\qquad 1\cdot(-5) = -5,
portanto
\det(A) = -8 - (-5) = -8 + 5 = -3.]
Passo 3
Determinante de 3\times3 — método de Sarrus e aplicação em B.
Método de Sarrus (prático para 3\times3): para
\begin{bmatrix}a & b & c\\[4pt]d & e & f\\[4pt]g & h & i\end{bmatrix}
faz-se a soma dos três produtos das diagonais que “descem para a direita” e subtrai-se a soma dos três produtos das diagonais que “sobem para a direita”:
\det = aei + bfg + cdh \;-\; (ceg + bdi + afh).
Isso é apenas uma forma organizada de desenvolver pela primeira linha, mas é rápida e fácil de aplicar.
Matriz D é retangular — justificativa de por que não é possível calcular determinante.
Determinante está definido apenas para matrizes quadradas (mesmo número de linhas e colunas). A matriz D tem 2 linhas e 3 colunas, isto é, é uma matriz 2\times3. Portanto não existe determinante de D no sentido usual: o determinante não está definido para matrizes não quadradas. Conclusão: não é possível calcular um determinante para D porque a matriz não é quadrada.
Passo 6
Determinante de E — observar dependência linear entre linhas (ou eliminar para ver que a linha fica zero).
Uma maneira rápida e didática: olhar as linhas originais de E:
Quando uma linha é múltiplo escalar de outra linha, as linhas são linearmente dependentes. Em qualquer matriz quadrada com duas linhas (ou colunas) linearmente dependentes, o determinante é zero — geometrica e algebricamente, as linhas não formam um conjunto de vetor base do espaço, então a “hiper-área” (determinante) é zero.
Alternativa por eliminação: se ao aplicar operações elementares do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” (essas operações não alteram o determinante) chega-se a uma linha nula, então o determinante é zero. De fato, somando 2 vezes a segunda linha à terceira linha na matriz original obtém-se a linha nula, confirmando \det(E)=0.
Portanto
\det(E)=0.]
Passo 7
Determinante de F — propriedade de matrizes triangulares.
Teorema útil: se uma matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Isso vale porque ao triangularizar sem trocar linhas (já está triangular) não há escalações adicionais; e a definição confirma que os termos fora da diagonal não contribuem ao produto principal na expansão.
A matriz F é triangular superior com diagonal \,1,\,1,\,2,\,8. Então