Determinar o momento de inércia polar nas seguintes situações:
b) Tubo circular maciço com diâmetro de 20 mm ; Resposta: \mathrm{Ip}=15,707 \times 10^{3} \mathrm{~mm}^{4}

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia polar de um tubo circular maciço (ou seja, um círculo cheio) de diâmetro 20\\ \mathrm{mm}.
O conteúdo necessário é o cálculo do momento de inércia polar (também chamado de segundo momento de área polar) usando a definição
J \;=\;\int_{A}r^{2}\,dA,
onde r é a distância de um elemento de área dA ao eixo de torção.

Passo 2

Para uma secção circular cheia, usamos coordenadas polares (r,\theta), em que dA = r\,dr\,d\theta e 0\le r\le R, 0\le\theta\le2\pi. Então
J = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}r^{2}\,(r\,dr\,d\theta) = 2\pi\int_{0}^{R}r^{3}dr = 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} = \frac{\pi R^{4}}{2}.
Como R = \tfrac{d}{2}, segue
J = \frac{\pi}{2}\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^{4} = \frac{\pi\,d^{4}}{32}.

Passo 3

Substituindo d = 20\\ \mathrm{mm}:
J = \frac{\pi\,(20\\ \mathrm{mm})^{4}}{32} = \frac{\pi \times 20^{4}}{32}\,\mathrm{mm}^{4} = 5000\pi\\ \mathrm{mm}^{4}.

Passo 4

Calculando numericamente:
5000\pi\approx 15707{,}963\\ \mathrm{mm}^{4},
arredondando ao milhar mais próximo, fica
J \approx 15{,}707\times 10^{3}\\ \mathrm{mm}^{4}.

Resposta

\mathrm{Ip} = 15{,}707\times 10^{3}\\ \mathrm{mm}^{4}

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