Determinar a perda de carga unitária em um conduto semicircular com fundo plano, de concreto armado liso (\varepsilon=0,25 \mathrm{~mm}), 1,5 \mathrm{~m} de diâmetro, transportando, como conduto forçado, água ( v_{\mathrm{cn}}=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) com velocidade média de 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
( \mathbf{J} \boldsymbol{=} \mathbf{0 , 0 0 7 5 ~ m} \boldsymbol{/} \mathbf{m} )

Passo 1

O enunciado pede para determinar a perda de carga unitária no conduto (isto é, a queda de carga por metro de comprimento), dadas as seguintes informações:
\begin{aligned} &\text{Seção: conduto semicircular com fundo plano (diâmetro total)} \\\ &D = 1{,}5\\ \mathrm{m} \\\ &\varepsilon = 0{,}25\\ \mathrm{mm} = 0{,}00025\\ \mathrm{m} \\\ &\nu = 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} \\\ &v = 3{,}0\\ \mathrm{m/s} \\\ &\text{(queremos } J \text{ em m/m).} \end{aligned}çãâ
Aqui temos que trabalhar com hidráulica de condutos forçados—vamos calcular o diâmetro hidráulico, o número de Reynolds, o fator de atrito e então usar Darcy–Weisbach para obter J.

Passo 2

Calcular as características geométricas da seção semicircular (cheia). Primeiro o raio:
R=\frac{D}{2}=\frac{1{,}5}{2}=0{,}75\\ \mathrm{m}.
Área da meia-circunferência (semicírculo):
A=\tfrac{1}{2}\pi R^{2}=\tfrac{1}{2}\pi (0{,}75)^{2}=\tfrac{1}{2}\pi\cdot0{,}5625=0{,}28125\pi\approx0{,}8836\\ \mathrm{m}^{2}.
Expliquei: usamos a fórmula da área do círculo \pi R^{2} e pegamos metade porque é semicírculo.

Passo 3

Calcular o perímetro molhado P. Para um semicírculo cheio o fluido molha tanto o arco quanto a base reta (diâmetro). Comprimento do arco semicircular é \pi R e comprimento do diâmetro é 2R, logo:
P=\pi R + 2R = R(\pi+2)=0{,}75(\pi+2)\approx3{,}8562\\ \mathrm{m}.
Expliquei: o perímetro molhado é a soma das superfícies em contato com a água.

Passo 4

Calcular o diâmetro hidráulico D_{h}, definição:
D_{h}=\frac{4A}{P}.
Substituindo:
D_{h}=\frac{4\cdot0{,}8835729}{3{,}8561925}\approx0{,}9167\\ \mathrm{m}.
Expliquei: D_{h} é uma medida que relaciona área molhada com perímetro molhado e é usada em escoamentos não circulares para aplicar fórmulas de perdas.

Passo 5

Calcular o número de Reynolds \mathrm{Re}, que indica regime de escoamento:
\mathrm{Re}=\frac{vD_{h}}{\nu}=\frac{3{,}0\cdot0{,}9167}{10^{-6}}\approx2{,}75\cdot10^{6}.
Interpretação: \mathrm{Re}\gg4000, portanto o escoamento é turbulentíssimo; o fator de atrito depende de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa.

Passo 6

Calcular a rugosidade relativa \varepsilon/D_{h}:
\frac{\varepsilon}{D_{h}}=\frac{0{,}00025}{0{,}9167}\approx2{,}73\cdot10^{-4}.
Expliquei: a rugosidade absoluta \varepsilon dividida pelo diâmetro hidráulico dá a rugosidade relativa usada nas fórmulas empíricas.

Passo 7

Escolher método para o fator de atrito f. A equação de Colebrook é implícita; para cálculo direto e rápido usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain, adequada em regime turbulento e bastante precisa:
f = \frac{0{,}25}{\biggl[\log_{10}\!\Bigl(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D_{h}}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Bigr)\biggr]^{2}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • f: fator de atrito de Darcy (adimensional);
  • \varepsilon: rugosidade absoluta (m);
  • D_{h}: diâmetro hidráulico (m);
  • \mathrm{Re}: número de Reynolds (adimensional).
Justificativa: Swamee–Jain é explícita e suficiente para esse \mathrm{Re} elevado e para engenharia de prova.

Passo 8

Avaliar os termos dentro do logaritmo e calcular f.
Calcular \dfrac{\varepsilon}{3{,}7D_{h}}:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_{h}}=\frac{0{,}00025}{3{,}7\cdot0{,}9167}\approx7{,}37\cdot10^{-5}.
Calcular \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}. Primeiro \mathrm{Re}^{0{,}9}\approx(2{,}75\cdot10^{6})^{0{,}9}\approx6{,}26\cdot10^{5}, então
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx\frac{5{,}74}{6{,}26\cdot10^{5}}\approx9{,}17\cdot10^{-6}.
Somando os termos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_{h}}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx8{,}29\cdot10^{-5}.
Agora o logaritmo:
\log_{10}(8{,}29\cdot10^{-5})\approx-4{,}081.
Elevar ao quadrado e aplicar a fórmula:
f=\frac{0{,}25}{(-4{,}081)^{2}}=\frac{0{,}25}{16{,}66}\approx0{,}0150.
Expliquei: esse f é o fator de atrito de Darcy, adimensional, que usamos no Darcy–Weisbach.

Passo 9

Calcular a perda de carga unitária J com a fórmula de Darcy–Weisbach:
J = \frac{h_{f}}{L} = f\frac{v^{2}}{2gD_{h}}.
Onde:
  • v é a velocidade média ( 3{,}0\\ \mathrm{m/s});
  • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s}^{2};
  • D_{h}=0{,}9167\\ \mathrm{m};
  • f\approx0{,}0150.
Substituindo:
J \approx 0{,}0150\cdot\frac{(3{,}0)^{2}}{2\cdot9{,}81\cdot0{,}9167} =0{,}0150\cdot\frac{9}{17{,}98}\approx0{,}0150\cdot0{,}5004\approx0{,}00751\\ \mathrm{m/m}.
Arredondando de forma prática para três casas significativas:
J\approx0{,}0075\\ \mathrm{m/m}.

Resposta

J = 0{,}0075\\ \mathrm{m/m}

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