Determinar o ponto comum das retas
r \quad\left\{\frac { x - 4 } { 3 } = \frac { y } { 1 } = \frac { z - 6 } { - 1 } \quad \text { e } \quad s \left\{\frac{x-2}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{2}\right.\right.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb R^3 com equações simétricas. Queremos encontrar seu ponto de interseção, caso exista. Para isso, vamos introduzir um parâmetro t para a reta r e um parâmetro u para a reta s, escrever as coordenadas em função desses parâmetros e igualar.

Passo 2

Para a reta r definimos
\frac{x-4}{3} \;=\;\frac{y}{1}\;=\;\frac{z-6}{-1}\;=\;t.
Isso gera as paramétricas
x = 4 + 3t,\quad y = t,\quad z = 6 - t.

Passo 3

Para a reta s definimos
\frac{x-2}{5} \;=\;\frac{y+1}{2}\;=\;\frac{z-3}{2}\;=\;u,
que leva a
x = 2 + 5u,\quad y = -1 + 2u,\quad z = 3 + 2u.

Passo 4

No ponto de interseção as coordenadas coincidem, então
4 + 3t = 2 + 5u,\quad t = -1 + 2u,\quad 6 - t = 3 + 2u.
Das duas últimas igualdades temos
t = -1 + 2u \quad\text{e}\quad 6 - t = 3 + 2u.
Somando-as:
t + (6 - t) = (-1 + 2u) + (3 + 2u) \quad\Longrightarrow\quad 6 = 2 + 4u \quad\Longrightarrow\quad u = 1.
Substituindo em t = -1 + 2u obtém-se
t = -1 + 2\cdot1 = 1.
Verificando na primeira equação 4+3t=2+5u:
4 + 3\cdot1 = 7,\quad 2 + 5\cdot1 = 7,
confere.

Passo 5

Com t=1 as coordenadas em r são
x = 4 + 3\cdot1 = 7,\quad y = 1,\quad z = 6 - 1 = 5.

Resposta

O ponto comum às retas r e s é (7,1,5).

Exercícios relacionados