Determinar o ponto simétrico do ponto P=(3,-1,2) \mathrm{cm} relação ao plano
\pi:\{2 x+y-z-1=0 .

Passo 1

O enunciado dá o ponto \,P=(3,-1,2) e o plano
\pi:\;2x+y-z-1=0
e pede o ponto simétrico de P em relação a \pi. O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3, em que vamos projetar P ortogonalmente sobre \pi e depois refletir esse pé de perpendicular para obter o simétrico.

Passo 2

Decompondo a equação do plano na forma Ax+By+Cz+D=0, temos
A=2,\quad B=1,\quad C=-1,\quad D=-1,
logo o vetor normal é
\mathbf{n}=(A,B,C)=(2,1,-1).
Depois, calculemos
f(P)=A\cdot 3 + B\cdot(-1) + C\cdot 2 + D =2\cdot3 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot2 +(-1) =6 -1 -2 -1=2
e o quadrado da norma de \mathbf{n}:
\|\mathbf{n}\|^2=2^2+1^2+(-1)^2=6.

Passo 3

O pé da perpendicular H de P em \pi é dado por
H \;=\; P \;-\;\frac{f(P)}{\|\mathbf{n}\|^2}\,\mathbf{n} \;=\;(3,-1,2)\;-\;\frac{2}{6}\,(2,1,-1) \;=\;\Bigl(\tfrac{7}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{7}{3}\Bigr).

Passo 4

O ponto simétrico P' é o reflexo de P em relação a H, ou seja
P' \;=\;2H - P \;=\;2\Bigl(\tfrac{7}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{7}{3}\Bigr)\;-\;(3,-1,2) \;=\;\Bigl(\tfrac{5}{3},-\tfrac{5}{3},\tfrac{8}{3}\Bigr).

Resposta

O ponto simétrico de P em relação ao plano \pi é
\bigl(\tfrac{5}{3},\,-\tfrac{5}{3},\,\tfrac{8}{3}\bigr)\,\text{cm}.

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