Dar a área do triângulo ABC , nos seguintes casos:
\mathbf{A}=(1,1,1), \quad \mathbf{B}=(2,1,-3), \quad \mathbf{C}=(0,1,-1)

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo ABC no espaço, cujos vértices são \mathbf{A}=(1,1,1), \mathbf{B}=(2,1,-3) e \mathbf{C}=(0,1,-1).
Para resolver, usamos o produto vetorial: a área de um triângulo é metade do módulo do produto vetorial entre dois de seus lados.

Passo 2

Calculamos os vetores que representam dois lados do triângulo: \overrightarrow{AB} = \mathbf{B}-\mathbf{A} = (2-1,\;1-1,\;-3-1) = (1,0,-4), \overrightarrow{AC} = \mathbf{C}-\mathbf{A} = (0-1,\;1-1,\;-1-1) = (-1,0,-2).

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & -4\\\\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix} =0\,\mathbf{i}+6\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k} =(0,6,0).

Passo 4

O módulo de (0,6,0) é \sqrt{0^2+6^2+0^2}=6. Portanto, a área do triângulo é
\frac{1}{2}\times 6 = 3.

Resposta

A área do triângulo ABC é 3.

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