Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo:
i) 
 
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar os pontos de inflexão e identificar os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo. A função que estamos analisando é uma função por partes:
Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para descobrir a concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função 
 . A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da tangente em cada ponto.
Para 
 :
Para 
 :
Passo 3
Agora, vamos achar a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. A concavidade para cima significa que a segunda derivada é positiva, e para baixo, negativa.
Para 
 :
Para 
 :
Passo 4
Vamos analisar o sinal da segunda derivada em cada intervalo:
- 
Para
: Isso significa que a função é côncava para baixo nesse intervalo. - 
Para
: A segunda derivada zero indica que não há concavidade definida; a função é linear nesse trecho. 
Passo 5
Agora, vamos verificar se existe algum ponto de inflexão. Um ponto de inflexão ocorre quando a concavidade muda de para cima para para baixo ou vice-versa.
Vamos analisar o ponto onde a função muda de definição, em 
 :
- 
À esquerda de 1 (
):  - 
À direita de 1 (
):  
Como a concavidade muda de negativa para indefinida, podemos considerar que não há uma mudança clara de concavidade. Portanto, não há ponto de inflexão.
Resposta
A função 
  é côncava para baixo no intervalo 
  e não apresenta concavidade definida para 
 . Não existem pontos de inflexão para essa função.