Determinar os pontos da reta \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-2} que tem ordenada 4

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos da reta \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-2} que têm ordenada 4. Informações dadas e relevantes:
  • A reta está escrita na forma simétrica \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-2}.
  • "Ordenada 4" significa que o valor de y deve ser 4.
  • Não há mais condições; queremos todos os pontos da reta cujo y vale 4.

Passo 2

Transformar a forma simétrica em forma paramétrica (isso facilita resolver para y=4). Na forma simétrica, todas as frações iguais a um mesmo número representam um parâmetro comum; chamamos esse parâmetro de t. Assim, igualando cada fração a t obtemos as equações paramétricas da reta. Escrevendo:
\frac{x-3}{2}= \frac{y+1}{-1}= \frac{z}{-2}=t
Isso significa que, isolando cada variável em função de t,
x = 3 + 2t,\qquad y = -1 - t,\qquad z = -2t.
Explicando: t é o parâmetro que identifica cada ponto da reta; quando t varia, x,y,z variam conforme essas fórmulas. O vetor diretor da reta é (2,-1,-2) (são os denominadores) e um ponto base é (3,-1,0) (obtido colocando t=0).

Passo 3

Agora impomos a condição da ordenada: queremos y=4. Usamos a expressão paramétrica de y:
y = -1 - t.
Igualando a 4 e resolvendo passo a passo:
-1 - t = 4.
Some 1 em ambos os lados:
- t = 5.
Multiplique por -1 (ou divida por -1):
t = -5.

Passo 4

Com t=-5 calculamos x e z pelas fórmulas paramétricas. Primeiro x:
x = 3 + 2t = 3 + 2\cdot(-5) = 3 - 10 = -7.
Agora z:
z = -2t = -2\cdot(-5) = 10.
Portanto o ponto correspondente é (-7,\,4,\,10).

Passo 5

Fazemos uma verificação rápida substituindo o ponto (-7,4,10) na forma simétrica para checar consistência:
\frac{x-3}{2}=\frac{-7-3}{2}=\frac{-10}{2}=-5,
\frac{y+1}{-1}=\frac{4+1}{-1}=\frac{5}{-1}=-5,
\frac{z}{-2}=\frac{10}{-2}=-5.
Como todas as frações dão o mesmo valor ( -5), o ponto realmente pertence à reta e tem y=4.

Passo 6

Comentário final e dica para prova: em geral, dada uma reta na forma \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}, para impor uma condição como y=Y é eficiente passar para a forma paramétrica x=x_0+at,\;y=y_0+bt,\;z=z_0+ct, resolver y_0+bt=Y para t e então calcular x,z. Se b=0 cuidado: aí a reta tem y constante e só existirá solução se y_0=Y.

Resposta

(-7,4,10)

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