Nos Exercícios de 31 a 36, é dada uma transformação linear T: V \rightarrow V. Se possível, encontre uma base \mathcal{C} para V tal que a matriz [T]_{c} de T, em relação à base \mathcal{C}, seja diagonal. T: \mathscr{P}_{2} \rightarrow \mathscr{P}_{2} definida por T(p(x))=p(x)
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T: \mathscr{P}_{2} \to \mathscr{P}_{2} definida por
T(p(x)) = p(x).
A pergunta é: se possível, encontrar uma base \mathcal{C} de \mathscr{P}_{2} tal que a matriz [T]_{\mathcal{C}} seja diagonal.
As informações relevantes fornecidas são:
\text{domínio e contradomínio: } \mathscr{P}_{2} \text{ (polinômios de grau} \le 2\text{),}
\text{ação de } T\text{: cada polinômio é enviado para ele mesmo.}
O que se pede explicitamente: encontrar (se for possível) uma base \mathcal{C} de \mathscr{P}_{2} que torne a matriz de T diagonal.
Passo 2
Interpretação direta da definição: para qualquer polinômio p(x)\in\mathscr{P}_{2} vale
T(p(x))=p(x).
Isso significa que T é a aplicação identidade no espaço \mathscr{P}_{2}. Em notação comum escrevemos
T=\mathrm{Id}_{\mathscr{P}_{2}}.
Passo 3
Vamos lembrar o que significa representar T por uma matriz numa base. Se \mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\} é uma base de \mathscr{P}_{2}, a matriz [T]_{\mathcal{B}} tem como j-ésima coluna as coordenadas de T(b_j) em relação à base \mathcal{B}. Aqui, como T é a identidade, para cada j temos
T(b_j)=b_j.
Logo, as coordenadas de T(b_j) na base \mathcal{B} são exatamente o vetor coluna canônico com 1 na posição j e 0 nas outras posições.
Passo 4
Dessa observação segue que, para qualquer base \mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\} de \mathscr{P}_{2}, a matriz [T]_{\mathcal{B}} é a matriz identidade I_3. Escrevendo explicitamente:
Note que I_3 é uma matriz diagonal (todos os elementos fora da diagonal principal são zero).]
Passo 5
Visto de outra forma, cada polinômio não nulo p(x) satisfaz
T(p(x)) = p(x) = 1\cdot p(x),
ou seja, todo polinômio não nulo é autovetor de T associado ao autovalor \lambda=1. Portanto existe uma base formada por autovetores (na verdade qualquer base é formada por autovetores), o que confirma que T é diagonalizável.
Passo 6
Conclusão prática para a prova: não é preciso procurar uma base especial — qualquer base de \mathscr{P}_{2} serve. Em particular, a base canônica habitual
\{1,x,x^{2}\}
é uma escolha simples e conveniente.
Passo 7
Mostro explicitamente a conta na base canônica \mathcal{C}=\{1,x,x^{2}\}. Aplicando T a cada vetor da base:
T(1)=1,\qquad T(x)=x,\qquad T(x^{2})=x^{2}.
As coordenadas de T(1),T(x),T(x^{2}) na base \mathcal{C} são, respectivamente, (1,0,0)^{T}, (0,1,0)^{T} e (0,0,1)^{T}. Assim