Determinar a probabilidade de que em 200 lances de uma moeda, resultem:
80< caras <120 ;

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de obter entre 80 e 120 caras (estritamente) em n=200 lançamentos de uma moeda justa.
O modelo exato é X\sim \mathrm{Binomial}(n=200,p=0.5), mas como n é grande, vamos usar a aproximação normal (Teorema de Moivre–Laplace).

Passo 2

Calculamos a esperança e a variância de X:
\mu = np = 200\cdot0.5 = 100, \quad \sigma^2 = np(1-p) = 200\cdot0.5\cdot0.5 = 50,
portanto o desvio padrão é
\sigma = \sqrt{50}\approx 7{,}071.

Passo 3

Queremos
P(80 < X < 120) = P(81 \le X \le 119).
Usamos correção de continuidade trocando por
P(80{,}5 < X < 119{,}5).

Passo 4

Padronizando com Z\sim N(0,1):
P(80{,}5 < X <119{,}5) = P\Bigl(\frac{80{,}5-100}{7{,}071} < Z < \frac{119{,}5-100}{7{,}071}\Bigr) = P(-2{,}757 < Z < 2{,}757).

Passo 5

Usando tabela da normal, \Phi(2{,}757)\approx0{,}9971. Logo
P(-2{,}757 < Z < 2{,}757) = \Phi(2{,}757)-\Phi(-2{,}757) = 2\Phi(2{,}757)-1 \approx 2\cdot0{,}9971 - 1 = 0{,}9942.

Resposta

A probabilidade aproximada vale 0{,}9942.

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