Lista de Exercícios № 4 1) Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja X : n^{\circ} de bolas brancas. Determinar a distribuição de probabilidade de X.
Seja X : B(10,2 / 5). Calcular:
\mathrm{P}(\mathrm{X}=3)

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na primeira, uma urna com 4 bolas brancas e 3 pretas e extraem-se 3 bolas sem reposição; definimos X como o número de brancas obtidas, o que leva à distribuição hipergeométrica. Na segunda, assume-se X\sim B(10,2/5) e pede-se \mathrm{P}(X=3). Para resolver vamos usar a fórmula da hipergeométrica e a da binomial.

Passo 2

Na distribuição hipergeométrica, para k=0,1,2,3 temos
P(X=k) =\frac{\binom{4}{k}\,\binom{3}{3-k}}{\binom{7}{3}}\,.

Passo 3

Calculando cada caso:
P(X=0) =\frac{\binom{4}{0}\,\binom{3}{3}}{\binom{7}{3}} =\frac{1\cdot1}{35} =\frac{1}{35},
P(X=1) =\frac{\binom{4}{1}\,\binom{3}{2}}{\binom{7}{3}} =\frac{4\cdot3}{35} =\frac{12}{35},
P(X=2) =\frac{\binom{4}{2}\,\binom{3}{1}}{\binom{7}{3}} =\frac{6\cdot3}{35} =\frac{18}{35},
P(X=3) =\frac{\binom{4}{3}\,\binom{3}{0}}{\binom{7}{3}} =\frac{4\cdot1}{35} =\frac{4}{35}.

Passo 4

Portanto a distribuição de X é P(X=0)=1/35, P(X=1)=12/35, P(X=2)=18/35, P(X=3)=4/35.

Passo 5

Para X\sim B(10,p) com p=2/5, a fórmula é
P(X=3) =\binom{10}{3}\Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^{3}\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^{7}\!.

Passo 6

Calculando numericamente:
\binom{10}{3}=120,\quad \Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^{3}=0{,}064,\quad \Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^{7}\approx0{,}0279936,
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P(X=3)\approx120\times0{,}064\times0{,}0279936\approx0{,}2150.

Resposta

A distribuição hipergeométrica de X é P(X=0)=\tfrac{1}{35},\;P(X=1)=\tfrac{12}{35},\;P(X=2)=\tfrac{18}{35},\;P(X=3)=\tfrac{4}{35}.
E, para X\sim B(10,2/5),
P(X=3)=\binom{10}{3}\Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^{3}\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^{7}\approx0{,}2150.

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