Determinar e representar gráficamente o domínio da seguinte função.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio da função e representar esse domínio graficamente. A função dada é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão que aparece dentro da raiz é
. - A raiz quadrada está no denominador da fração.
Passo 2
Regras que devemos usar para achar o domínio (explicando com calma):
- A função raiz quadrada
está definida como número real somente para . - Além disso, se a raiz aparece no denominador, não podemos permitir que o valor dentro da raiz seja zero, porque dividir por zero é proibido.
Portanto, para queseja real e bem definida, precisamos que o radicando satisfaça
Isto é: o radicando deve ser estritamente positivo.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
. Primeiro faço fatoração, que é uma ferramenta muito útil:
Então precisamos de
Uma regra de sinais simples: o produto de dois números é positivo quando ambos são positivos ou ambos são negativos. Isso gera dois casos.
Passo 4
Analisando os dois casos (explicando passo a passo):
Caso 1: ambos positivos.
Essas duas desigualdades juntas equivalem a [x>|y|). Geometricamente é a parte à direita do eixo
entre as retas
.
Caso 2: ambos negativos.
Essas duas juntas equivalem a
simetricamente.
Juntando os casos, a solução da desigualdade é
Passo 5
Colocando isso em forma de domínio: o domínio
da função é o conjunto de todos os pares
tais que
. Em notação:
Uma forma equivalente, mais compacta, é
Outra descrição útil, como união de dois conjuntos, é
Passo 6
Interpretação geométrica e verificação por exemplos (para você se acostumar a identificar pontos na prova):
- A fronteira onde
são as retas e . Esses pontos são excluídos do domínio (porque daria divisão por zero). - O domínio são as duas “penas” (ou cones abertos) que se estendem para a direita e para a esquerda ao longo do eixo
, isto é, as regiões entre as retas do lado direito e do lado esquerdo, sem incluir as próprias retas. - Exemplos rápidos:
-
: — pertence ao domínio. -
: — NÃO pertence (raiz zero → divisão por zero). -
: — NÃO pertence (radicando negativo). -
: — pertence (região à esquerda).
-
Passo 7
Como representar isso no gráfico (passos práticos que você pode desenhar rápido na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Trace as retas
e (linhas passando pela origem com inclinações e ). - Pinte (ou faça sombreado) as duas regiões onde
: a região entre as duas retas do lado direito (próxima ao eixo positivo) e a região análoga do lado esquerdo (próxima ao eixo negativo). - Não marque as retas (elas são excluídas); normalmente usa-se uma linha tracejada nelas ou não se colore a própria linha.