Determinar e representar gráficamente o domínio da seguinte função.
f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio da função e representar esse domínio graficamente. A função dada é
f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão que aparece dentro da raiz é x^{2}-y^{2}.
  • A raiz quadrada está no denominador da fração.

Passo 2

Regras que devemos usar para achar o domínio (explicando com calma):
  • A função raiz quadrada \sqrt{t} está definida como número real somente para t\ge 0.
  • Além disso, se a raiz aparece no denominador, não podemos permitir que o valor dentro da raiz seja zero, porque dividir por zero é proibido.
    Portanto, para que f(x,y) seja real e bem definida, precisamos que o radicando satisfaça
x^{2}-y^{2}>0.
Isto é: o radicando deve ser estritamente positivo.

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade \,x^{2}-y^{2}>0\,. Primeiro faço fatoração, que é uma ferramenta muito útil:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Então precisamos de
(x-y)(x+y)>0.
Uma regra de sinais simples: o produto de dois números é positivo quando ambos são positivos ou ambos são negativos. Isso gera dois casos.

Passo 4

Analisando os dois casos (explicando passo a passo):
Caso 1: ambos positivos.
\begin{cases} x-y>0\\[4pt] x+y>0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x>y\\[4pt] x>-y \end{cases}
Essas duas desigualdades juntas equivalem a [x>|y|). Geometricamente é a parte à direita do eixo y entre as retas y=\pm x.
Caso 2: ambos negativos.
\begin{cases} x-y<0\\[4pt] x+y<0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x<y\\[4pt] x<-y \end{cases}
Essas duas juntas equivalem a x<-|y|\]. Geometricamente é a parte à esquerda do eixo \(y simetricamente.
Juntando os casos, a solução da desigualdade é
x^{2}-y^{2}>0\quad\Longleftrightarrow\quad |x|>|y|.]

Passo 5

Colocando isso em forma de domínio: o domínio D da função é o conjunto de todos os pares (x,y) tais que x^{2}-y^{2}>0. Em notação:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}>0\}.
Uma forma equivalente, mais compacta, é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid |y|<|x|\}.
Outra descrição útil, como união de dois conjuntos, é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>|y|\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x<-|y|\}.

Passo 6

Interpretação geométrica e verificação por exemplos (para você se acostumar a identificar pontos na prova):
  • A fronteira onde x^{2}-y^{2}=0 são as retas y=x e y=-x. Esses pontos são excluídos do domínio (porque daria divisão por zero).
  • O domínio são as duas “penas” (ou cones abertos) que se estendem para a direita e para a esquerda ao longo do eixo x, isto é, as regiões entre as retas y=\pm x do lado direito e do lado esquerdo, sem incluir as próprias retas.
  • Exemplos rápidos:
    • (1,0): 1^{2}-0^{2}=1>0 — pertence ao domínio.
    • (1,1): 1^{2}-1^{2}=0 — NÃO pertence (raiz zero → divisão por zero).
    • (0,1): 0-1=-1<0 — NÃO pertence (radicando negativo).
    • (-2,1): (-2)^{2}-1^{2}=4-1=3>0 — pertence (região à esquerda).

Passo 7

Como representar isso no gráfico (passos práticos que você pode desenhar rápido na prova):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Trace as retas y=x e y=-x (linhas passando pela origem com inclinações +1 e -1).
  • Pinte (ou faça sombreado) as duas regiões onde |x|>|y|: a região entre as duas retas do lado direito (próxima ao eixo x positivo) e a região análoga do lado esquerdo (próxima ao eixo x negativo).
  • Não marque as retas (elas são excluídas); normalmente usa-se uma linha tracejada nelas ou não se colore a própria linha.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}>0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid |y|<|x|\}.

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