Questão 2. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio e o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Encontrar uma representação em série de potências (ou seja, escrever
como uma soma de potências de ). - Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há outras restrições explícitas; a série deve ser encontrada e sua convergência analisada.
Passo 2
Relembrando um resultado muito útil (a “fórmula da série geométrica”): para um número real ou complexo
com
vale
Explicação rápida do porquê: seja a soma parcial
. Então
. Fazendo
e usando
(portanto
), obtemos
, logo a fórmula.
Passo 3
Aplicar a fórmula geométrica fazendo a substituição
. Isso é válido enquanto
. Substituindo na identidade obtemos, para
,
Passo 4
Simplificar a potência do termo geral:
. Assim a representação em série de potências fica
Comentário didático: essa é uma série de potências em
, mas observe que aparecem apenas os termos cujo expoente é múltiplo de
. Se for conveniente escrever no formato de série
, os coeficientes são
Passo 5
Determinar o raio de convergência: a condição obtida ao substituir foi
. Isso é equivalente a
Portanto o raio de convergência é
.
Forma alternativa de ver isso (teste da raiz): para a série
o
-ésimo termo em módulo é
e
Pelo teste da raiz a série converge se
, novamente
.
Passo 6
Analisar os extremos do intervalo
:
-
Em
: a função não está definida (diverge). A série torna-se , que diverge. Portanto não pertence ao intervalo de convergência. -
Em
: a função tem valor , finito. Porém a série torna-se
que não converge (oscila). Logo
também não pertence ao intervalo de convergência da série.
Conclusão: os extremos são excluídos.
Passo 7
Resumo final: a série obtida por substituição da série geométrica é
, ela converge para
quando
; o raio de convergência é
e o intervalo de convergência (no sentido real) é
.
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: