Questão 2. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio e o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{1}{1-x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=\dfrac{1}{1-x^{3}}:
  • Encontrar uma representação em série de potências (ou seja, escrever f(x) como uma soma de potências de x).
  • Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{1-x^{3}}.
  • Não há outras restrições explícitas; a série deve ser encontrada e sua convergência analisada.

Passo 2

Relembrando um resultado muito útil (a “fórmula da série geométrica”): para um número real ou complexo r com |r|<1 vale
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots.
Explicação rápida do porquê: seja a soma parcial S_N=1+r+\cdots+r^{N}. Então (1-r)S_N=1-r^{\,N+1}. Fazendo N\to\infty e usando |r|<1 (portanto r^{N+1}\to0), obtemos (1-r)\sum_{n=0}^{\infty}r^n=1, logo a fórmula.

Passo 3

Aplicar a fórmula geométrica fazendo a substituição r=x^{3}. Isso é válido enquanto |x^{3}|<1. Substituindo na identidade obtemos, para |x^{3}|<1,
\frac{1}{1-x^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty} (x^{3})^{n}.

Passo 4

Simplificar a potência do termo geral: (x^{3})^{n}=x^{3n}. Assim a representação em série de potências fica
\frac{1}{1-x^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{3n}=1+x^{3}+x^{6}+x^{9}+\cdots.
Comentário didático: essa é uma série de potências em x, mas observe que aparecem apenas os termos cujo expoente é múltiplo de 3. Se for conveniente escrever no formato de série \sum_{k=0}^\infty a_k x^k, os coeficientes são
a_k = \begin{cases} 1, & \text{se } k \text{ é múltiplo de }3,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}éúá]

Passo 5

Determinar o raio de convergência: a condição obtida ao substituir foi |x^{3}|<1. Isso é equivalente a
|x|^{3}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<1.
Portanto o raio de convergência é R=1.
Forma alternativa de ver isso (teste da raiz): para a série \sum_{n=0}^{\infty} x^{3n} o n-ésimo termo em módulo é |x|^{3n} e
\lim_{n\to\infty} \big(|x|^{3n}\big)^{1/n}=\lim_{n\to\infty} |x|^{3}=|x|^{3}.
Pelo teste da raiz a série converge se |x|^{3}<1, novamente |x|<1.

Passo 6

Analisar os extremos do intervalo [-1,1]:
  • Em x=1: a função f(1)=\dfrac{1}{1-1} não está definida (diverge). A série torna-se \sum_{n=0}^{\infty}1=1+1+1+\cdots, que diverge. Portanto x=1 não pertence ao intervalo de convergência.
  • Em x=-1: a função tem valor f(-1)=\dfrac{1}{1-(-1)^{3}}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}, finito. Porém a série torna-se
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{3n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}=1-1+1-1+\cdots,
que não converge (oscila). Logo x=-1 também não pertence ao intervalo de convergência da série.
Conclusão: os extremos são excluídos.

Passo 7

Resumo final: a série obtida por substituição da série geométrica é \sum_{n=0}^{\infty}x^{3n}, ela converge para \dfrac{1}{1-x^{3}} quando |x|<1; o raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência (no sentido real) é (-1,1).

Resposta

\frac{1}{1-x^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{3n}=1+x^{3}+x^{6}+x^{9}+\cdots
Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: (-1,1)

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