Determinar se os seguintes conjuntos são subespaços de \mathbb{R}^{3}.
(d) W=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \mid a_{2} \in \mathbb{Q}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = \{(a_{1},a_{2},a_{3}) \in \mathbb{R}^3 \mid a_{2}\in \mathbb{Q}\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar o critério padrão: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se,
  1. o vetor zero está em W,
  2. W é fechado sob soma de vetores,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de \mathbb{R}^3, ou seja (0,0,0), pertence a W. Como a segunda componente é 0 e 0\in\mathbb{Q}, temos
(0,0,0)\in W.
Logo, a condição de conter o vetor zero está satisfeita.

Passo 3

Verificamos a soma de dois vetores quaisquer de W. Tomemos
u=(u_{1},u_{2},u_{3}),\quad v=(v_{1},v_{2},v_{3})
com u_{2},v_{2}\in\mathbb{Q}. Então
u+v = (u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2},\,u_{3}+v_{3}).
Como a soma de números racionais é racional, u_{2}+v_{2}\in\mathbb{Q}. Logo u+v\in W, e assim W é fechado sob soma.

Passo 4

Agora testamos a multiplicação por escalar real. Seja
u=(u_{1},u_{2},u_{3})\in W
com u_{2}\in\mathbb{Q} e tome um escalar \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda\,u = (\lambda u_{1},\,\lambda u_{2},\,\lambda u_{3}).
Para \lambda\notin\mathbb{Q}, em geral \lambda u_{2}\notin\mathbb{Q}. Por exemplo, se u=(0,1,0) e \lambda=\sqrt{2}, então
\lambda u = (0,\sqrt{2},0)
e \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. Assim \lambda u\notin W, mostrando que W não é fechado sob multiplicação por escalares.

Resposta

W não é subespaço de \mathbb{R}^3, pois falha na condição de fechamento sob multiplicação por escalares.

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