Determinar se os seguintes conjuntos são subespaços de
.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar o critério padrão: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se, e somente se,
- o vetor zero está em
, -
é fechado sob soma de vetores, -
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero de
, ou seja
, pertence a
. Como a segunda componente é
e
, temos
Logo, a condição de conter o vetor zero está satisfeita.
Passo 3
Verificamos a soma de dois vetores quaisquer de
. Tomemos
com
. Então
Como a soma de números racionais é racional,
. Logo
, e assim
é fechado sob soma.
Passo 4
Agora testamos a multiplicação por escalar real. Seja
com
e tome um escalar
. Então
Para
, em geral
. Por exemplo, se
e
, então
e
. Assim
, mostrando que
não é fechado sob multiplicação por escalares.