Determinar se os seguintes conjuntos são subespaços de \mathbb{R}^{3}.
(a) W=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \mid a_{1}=3 a_{2}\right. e \left.a_{3}=-a_{2}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \bigl\{(a_{1},a_{2},a_{3})\in\mathbb{R}^{3}\mid a_{1}=3\,a_{2}\;\wedge\;a_{3}=-a_{2}\bigr\}
é subespaço de \mathbb{R}^{3}. Para isso, precisamos usar a definição de subespaço:
  1. W não pode ser vazio (deve conter o vetor zero).
  2. W deve ser fechado sob soma de vetores.
  3. W deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que W contém o vetor zero. Basta escolher a_{2}=0, então a_{1}=3\cdot0=0 e a_{3}=-0=0, o que dá
(0,0,0)\in W.
Logo, W\neq\varnothing.

Passo 3

Vamos parametrizar W. Seja t=a_{2}. Então
a_{1}=3t,\quad a_{2}=t,\quad a_{3}=-t,
e todo vetor de W pode ser escrito como
(3t,\,t,\,-t) \;=\; t\,(3,1,-1).
Portanto
W = \{\,t\,(3,1,-1)\mid t\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(3,1,-1)\}.

Passo 4

Como W é o span de um vetor, ele já é automaticamente fechado para soma e escalar:
  • Se u=t(3,1,-1) e v=s(3,1,-1) então
u+v = (t+s)(3,1,-1)\in W.
  • Se \alpha\in\mathbb{R} então
\alpha\,u = (\alpha t)(3,1,-1)\in W.

Resposta

W é subespaço de \mathbb{R}^{3}, de dimensão 1, com base \{(3,1,-1)\}.

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