Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{x}-1\right) x}{1-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\frac{(e^{x}-1)\,x}{1-\cos x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{numerador} = (e^{x}-1)\,x,\qquad \text{denominador} = 1-\cos x,
e a variável tende para \,x\to 0. A tarefa é encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Vamos primeiro verificar o comportamento das partes para ver se o limite é de uma forma indeterminada (isso é obrigatório antes de aplicar qualquer regra como a de L’Hospital).
Calcule os limites separados quando x\to 0:
\lim_{x\to 0}(e^{x}-1) = 0,\qquad \lim_{x\to 0} x = 0,
portanto
\lim_{x\to 0} (e^{x}-1)\,x = 0\cdot 0 = 0.
E
\lim_{x\to 0} (1-\cos x) = 1-1 = 0.
Logo a expressão inteira tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso nos permite pensar em usar a regra de L’Hospital, desde que as hipóteses dela sejam satisfeitas (ver passo seguinte).

Passo 3

A regra de L’Hospital (caso mais usado) diz, essencialmente:
se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e f e g são diferenciáveis em um intervalo com a exceto possivelmente em a, e g'(x)\neq 0 próximo de a (exceto talvez em a), então, se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe finito ou é \pm\infty, temos
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui temos f(x)=(e^{x}-1)\,x e g(x)=1-\cos x. Ambas são diferenciáveis em torno de 0, então as hipóteses estão satisfeitas e podemos aplicar L’Hospital. Vou aplicar passo a passo, explicando as derivadas usadas.

Passo 4

Aplicando L’Hospital pela primeira vez, calculamos f'(x) e g'(x).
Para f(x)=(e^{x}-1)\,x usamos a regra do produto:
se u(x)=e^{x}-1 e v(x)=x, então f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u'(x)=e^{x} e v'(x)=1. Logo
f'(x)=e^{x}\cdot x + (e^{x}-1)\cdot 1 = e^{x}x + e^{x}-1 = e^{x}(x+1)-1.
Para g(x)=1-\cos x temos g'(x)=\sin x.
Portanto, pelo L’Hospital,
\lim_{x\to 0}\frac{(e^{x}-1)\,x}{1-\cos x} = \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}(x+1)-1}{\sin x}.

Passo 5

Verificamos o novo quociente para ver se ainda é uma forma indeterminada. Substituindo x=0 no numerador e denominador:
\text{numerador}:\; e^{0}(0+1)-1 = 1\cdot 1 -1 = 0, \qquad \text{denominador}:\; \sin 0 = 0.
De novo temos 0/0. Portanto podemos aplicar L’Hospital uma segunda vez.

Passo 6

Aplicando L’Hospital pela segunda vez, calculamos as derivadas do numerador e do denominador da expressão
\frac{e^{x}(x+1)-1}{\sin x}.
Derivada do numerador: seja h(x)=e^{x}(x+1)-1. Usamos novamente a regra do produto para e^{x}(x+1):
\frac{d}{dx}\big(e^{x}(x+1)\big)=e^{x}(x+1) + e^{x}\cdot 1 = e^{x}(x+1)+e^{x}=e^{x}(x+2).
A derivada de -1 é 0. Assim h'(x)=e^{x}(x+2).
Derivada do denominador \sin x é \cos x.
Pelo L’Hospital:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}(x+1)-1}{\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}(x+2)}{\cos x}.

Passo 7

Agora avaliamos a expressão final no ponto x=0. Substituindo x=0:
\frac{e^{0}(0+2)}{\cos 0} = \frac{1\cdot 2}{1} = 2.
Como o numerador e denominador são contínuos nessa etapa, a substituição dá o valor do limite. Portanto o limite procurado é 2.

Resposta

2

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