Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
e a variável tende para
. A tarefa é encontrar o valor desse limite.
Passo 2
Vamos primeiro verificar o comportamento das partes para ver se o limite é de uma forma indeterminada (isso é obrigatório antes de aplicar qualquer regra como a de L’Hospital).
Calcule os limites separados quando :
Calcule os limites separados quando
portanto
E
Logo a expressão inteira tem a forma indeterminada
. Isso nos permite pensar em usar a regra de L’Hospital, desde que as hipóteses dela sejam satisfeitas (ver passo seguinte).
Passo 3
A regra de L’Hospital (caso mais usado) diz, essencialmente:
se e
(ou ambos
), e
e
são diferenciáveis em um intervalo com
exceto possivelmente em
, e
próximo de
(exceto talvez em
), então, se o limite
se
existe finito ou é
, temos
Aqui temos
e
. Ambas são diferenciáveis em torno de
, então as hipóteses estão satisfeitas e podemos aplicar L’Hospital. Vou aplicar passo a passo, explicando as derivadas usadas.
Passo 4
Aplicando L’Hospital pela primeira vez, calculamos
e
.
Para
usamos a regra do produto:
se e
, então
.
Aqui e
. Logo
se
Aqui
Para
temos
.
Portanto, pelo L’Hospital,
Passo 5
Verificamos o novo quociente para ver se ainda é uma forma indeterminada. Substituindo
no numerador e denominador:
De novo temos
. Portanto podemos aplicar L’Hospital uma segunda vez.
Passo 6
Aplicando L’Hospital pela segunda vez, calculamos as derivadas do numerador e do denominador da expressão
Derivada do numerador: seja
. Usamos novamente a regra do produto para
:
A derivada de
é
. Assim
.
Derivada do denominador é
.
Derivada do denominador
Pelo L’Hospital:
Passo 7
Agora avaliamos a expressão final no ponto
. Substituindo
:
Como o numerador e denominador são contínuos nessa etapa, a substituição dá o valor do limite. Portanto o limite procurado é
.