Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é soma de duas parcelas:
e . - A segunda parcela
está bem definida para todo , pois para qualquer . - Precisamos encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Vamos reescrever a primeira parcela de forma mais conveniente para derivar. Observe que
Escrevemos assim para usar a regra do produto com mais clareza. A constante
pode ficar fora da derivação.
Passo 3
Vou lembrar as regras de derivação que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
- Regra do produto: se
, então
onde
e
são as derivadas de
e
.
- Derivada da exponencial:
. Pelo encadeamento, . - Derivada do seno e do cosseno:
. - Regra da cadeia para logaritmo: se
, então
Aqui
é a derivada da função interna
.
Passo 4
Aplique a regra do produto à primeira parcela. Defina
com um fator
multiplicando tudo. Primeiro calcule
:
usar produto em :
usar produto em
Passo 5
Agora calcule
:
Aplicando a regra do produto para
:
Substituindo
:
Passo 6
Simplifique a expressão anterior fatorando
:
Agrupando
, obtemos
Voltando a escrever com
no denominador,
Passo 7
Calcule a derivada da segunda parcela
usando a regra da cadeia. Seja
. Então
e
Passo 8
Some as derivadas das duas parcelas para obter
:
Essa é a forma simplificada final da derivada.