Calcule as derivadas das funções:
f(x)=\frac{x \operatorname{sen} x}{2 e^{x}}+\ln \left(x^{6}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x \operatorname{sen} x}{2 e^{x}}+\ln \left(x^{6}+1\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é soma de duas parcelas: \displaystyle \frac{x \operatorname{sen} x}{2 e^{x}} e \displaystyle \ln\left(x^{6}+1\right).
  • A segunda parcela \ln\left(x^{6}+1\right) está bem definida para todo x, pois x^{6}+1>0 para qualquer x.
  • Precisamos encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos reescrever a primeira parcela de forma mais conveniente para derivar. Observe que
\frac{x \operatorname{sen} x}{2 e^{x}}=\frac{1}{2}\,x\operatorname{sen}x\;e^{-x}.
Escrevemos assim para usar a regra do produto com mais clareza. A constante \frac{1}{2} pode ficar fora da derivação.

Passo 3

Vou lembrar as regras de derivação que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)\,v(x), então
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x),
onde u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v.
  • Derivada da exponencial: \displaystyle \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Pelo encadeamento, \displaystyle \frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.
  • Derivada do seno e do cosseno: \displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • Regra da cadeia para logaritmo: se H(x)=\ln(g(x)), então
H'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.
Aqui g'(x) é a derivada da função interna g(x).

Passo 4

Aplique a regra do produto à primeira parcela. Defina
u(x)=x\operatorname{sen}x,\qquad v(x)=e^{-x},
com um fator \frac{1}{2} multiplicando tudo. Primeiro calcule u'(x):
usar produto em u(x)=x\cdot\sin x:
u'(x)=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x=\sin x + x\cos x.

Passo 5

Agora calcule v'(x):
v'(x)=\frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.
Aplicando a regra do produto para \displaystyle \frac{1}{2}u(x)v(x):
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}u(x)v(x)\right)=\frac{1}{2}\big(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\big).
Substituindo u,u',v,v':
\frac{d}{dx}\left(\frac{x\sin x}{2e^{x}}\right)=\frac{1}{2}\Big((\sin x + x\cos x)e^{-x} + (x\sin x)(-e^{-x})\Big).

Passo 6

Simplifique a expressão anterior fatorando e^{-x}:
\frac{1}{2}e^{-x}\Big(\sin x + x\cos x - x\sin x\Big).
Agrupando \sin x - x\sin x=\sin x(1-x), obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{x\sin x}{2e^{x}}\right)=\frac{1}{2}e^{-x}\big(\sin x(1-x)+x\cos x\big).
Voltando a escrever com e^{x} no denominador,
\frac{d}{dx}\left(\frac{x\sin x}{2e^{x}}\right)=\frac{\sin x(1-x)+x\cos x}{2e^{x}}.

Passo 7

Calcule a derivada da segunda parcela \displaystyle \ln\left(x^{6}+1\right) usando a regra da cadeia. Seja g(x)=x^{6}+1. Então g'(x)=6x^{5} e
\frac{d}{dx}\ln\left(x^{6}+1\right)=\frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{6x^{5}}{x^{6}+1}.

Passo 8

Some as derivadas das duas parcelas para obter f'(x):
f'(x)=\frac{\sin x(1-x)+x\cos x}{2e^{x}}+\frac{6x^{5}}{x^{6}+1}.
Essa é a forma simplificada final da derivada.

Resposta

f'(x)=\frac{\sin x(1-x)+x\cos x}{2e^{x}}+\frac{6x^{5}}{x^{6}+1}

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