Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
O que se pede: calcular o valor numérico do limite acima quando
.
Passo 2
Verificamos a forma indefinida do limite ao substituir
:
e
Portanto a forma é
, que é uma forma indeterminada. Quando temos
podemos usar a regra de L’Hospital, desde que as funções sejam diferenciáveis próximas de
(o que acontece aqui).
Passo 3
Enunciado da regra de L’Hospital (de forma prática que vamos usar): se
é uma forma
ou
e
e
são diferenciáveis perto de
e
(próximo de
), então, se existir,
Nota: podemos aplicar a regra várias vezes se após uma aplicação a forma ainda for indeterminada.
Passo 4
Aplicamos L’Hospital pela primeira vez. Tomamos
Calculamos
usando a regra do produto: se
e
, então
Sabendo que
e
, obtemos
E
Pelo enunciado de L’Hospital:
desde que o limite do lado direito exista (ou seja
indeterminação final).
Passo 5
Avaliamo o novo numerador e denominador em
:
e
Ainda temos forma
. Então aplicamos L’Hospital novamente.
Passo 6
Diferenciamos novamente numerador e denominador. Denotemos o numerador atual por
Vamos calcular
termo a termo, usando regras básicas:
- Derivada de
(produto): se e , então
(Expliquei: deriva
dá
vezes
mais
vezes derivada de
que é
.)
- Derivada de
(produto): se e , então
(Expliquei: deriva
dá
, multiplicamos por
e mais
vezes derivada de
que é
.)
Somando esses dois resultados:
Agrupando termos semelhantes: junte os termos com
e com
:
No primeiro parêntese fatoramos
:
No segundo parêntese temos
. Assim
A derivada do denominador
é
Passo 7
Pela segunda aplicação de L’Hospital:
Agora avaliamos em
:
Dividindo por
obtemos
. Portanto o limite existe e vale
.
Passo 8
Breve verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): usando séries de Taylor (apenas para checar), perto de
Multiplicando,
e dividindo por
dá
, que tende para
. Confirma o resultado obtido por L’Hospital.