Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{x}-1\right) \operatorname{sen} x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0} \frac{(e^{x}-1)\,\operatorname{sen} x}{x^{2}}.
Informações dadas:
\text{numerador}=(e^{x}-1)\,\operatorname{sen} x,\qquad \text{denominador}=x^{2}.
O que se pede: calcular o valor numérico do limite acima quando x\to 0.

Passo 2

Verificamos a forma indefinida do limite ao substituir x=0:
e^{0}-1=0,\qquad \operatorname{sen} 0=0,\qquad \text{logo}\quad (e^{0}-1)\operatorname{sen} 0=0,
e
0^{2}=0.
Portanto a forma é \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Quando temos \frac{0}{0} podemos usar a regra de L’Hospital, desde que as funções sejam diferenciáveis próximas de 0 (o que acontece aqui).

Passo 3

Enunciado da regra de L’Hospital (de forma prática que vamos usar): se
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
é uma forma \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty} e f e g são diferenciáveis perto de a e g'(x)\neq 0 (próximo de a), então, se existir,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Nota: podemos aplicar a regra várias vezes se após uma aplicação a forma ainda for indeterminada.

Passo 4

Aplicamos L’Hospital pela primeira vez. Tomamos
f(x)=(e^{x}-1)\,\operatorname{sen} x,\qquad g(x)=x^{2}.
Calculamos f'(x) usando a regra do produto: se u(x)=e^{x}-1 e v(x)=\operatorname{sen} x, então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Sabendo que u'(x)=e^{x} e v'(x)=\cos x, obtemos
f'(x)=e^{x}\operatorname{sen} x + (e^{x}-1)\cos x.
E
g'(x)=2x.
Pelo enunciado de L’Hospital:
\lim_{x\to 0}\frac{(e^{x}-1)\operatorname{sen} x}{x^{2}} = \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}\operatorname{sen} x + (e^{x}-1)\cos x}{2x},
desde que o limite do lado direito exista (ou seja \neq indeterminação final).

Passo 5

Avaliamo o novo numerador e denominador em x=0:
e^{0}\operatorname{sen} 0 + (e^{0}-1)\cos 0 = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0,
e
2\cdot 0 = 0.
Ainda temos forma \frac{0}{0}. Então aplicamos L’Hospital novamente.

Passo 6

Diferenciamos novamente numerador e denominador. Denotemos o numerador atual por
N(x)=e^{x}\operatorname{sen} x + (e^{x}-1)\cos x.
Vamos calcular N'(x) termo a termo, usando regras básicas:
  • Derivada de e^{x}\operatorname{sen} x (produto): se a(x)=e^{x} e b(x)=\operatorname{sen} x, então
\frac{d}{dx}(e^{x}\operatorname{sen} x)=e^{x}\operatorname{sen} x + e^{x}\cos x.
(Expliquei: deriva e^{x} e^{x} vezes \operatorname{sen} x mais e^{x} vezes derivada de \operatorname{sen} x que é \cos x.)
  • Derivada de (e^{x}-1)\cos x (produto): se c(x)=e^{x}-1 e d(x)=\cos x, então
\frac{d}{dx}((e^{x}-1)\cos x)=e^{x}\cos x + (e^{x}-1)(-\,\operatorname{sen} x).
(Expliquei: deriva e^{x}-1 e^{x}, multiplicamos por \cos x e mais c(x) vezes derivada de \cos x que é -\operatorname{sen} x.)
Somando esses dois resultados:
N'(x)=\bigl(e^{x}\operatorname{sen} x + e^{x}\cos x\bigr) + \bigl(e^{x}\cos x - (e^{x}-1)\operatorname{sen} x\bigr).
Agrupando termos semelhantes: junte os termos com \operatorname{sen} x e com \cos x:
N'(x)=\bigl(e^{x}\operatorname{sen} x - (e^{x}-1)\operatorname{sen} x\bigr) + \bigl(e^{x}\cos x + e^{x}\cos x\bigr).
No primeiro parêntese fatoramos \operatorname{sen} x:
e^{x}\operatorname{sen} x - (e^{x}-1)\operatorname{sen} x = \bigl(e^{x} - (e^{x}-1)\bigr)\operatorname{sen} x = 1\cdot \operatorname{sen} x = \operatorname{sen} x.
No segundo parêntese temos 2e^{x}\cos x. Assim
N'(x)=\operatorname{sen} x + 2e^{x}\cos x.
A derivada do denominador 2x é
(2x)'=2.

Passo 7

Pela segunda aplicação de L’Hospital:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}\operatorname{sen} x + (e^{x}-1)\cos x}{2x} = \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x + 2e^{x}\cos x}{2}.
Agora avaliamos em x=0:
\operatorname{sen} 0 + 2e^{0}\cos 0 = 0 + 2\cdot 1\cdot 1 = 2.
Dividindo por 2 obtemos 1. Portanto o limite existe e vale 1.

Passo 8

Breve verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): usando séries de Taylor (apenas para checar), perto de 0
e^{x}-1 = x + \frac{x^{2}}{2} + O(x^{3}),\qquad \operatorname{sen} x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}).
Multiplicando,
(e^{x}-1)\operatorname{sen} x = x^{2} + O(x^{3}),
e dividindo por x^{2} 1 + O(x), que tende para 1. Confirma o resultado obtido por L’Hospital.

Resposta

1

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