Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x+x)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}(\cos x + x)^{1/x}.
Informações dadas:
\cos x é a função cosseno e sabemos que \cos 0 = 1.
O objetivo é encontrar o valor numérico do limite quando x tende a 0.
Não há outras condições ou dados ocultos no enunciado.

Passo 2

Transformação padrão para limites de potências: se temos uma expressão da forma f(x)^{g(x)}, é conveniente tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto. Assim, definimos
y(x) = (\cos x + x)^{1/x}
e consideramos
\ln y(x) = \frac{\ln(\cos x + x)}{x}.
Se conseguirmos calcular \lim_{x\to 0}\ln y(x) e esse limite for L finito, então o limite original será e^{L}, porque a função exponencial é contínua:
\lim_{x\to 0} y(x) = \exp\!\Big(\lim_{x\to 0}\ln y(x)\Big) = e^{L}.

Passo 3

Analisando a forma da nova expressão:
quando x\to 0 temos \cos x + x \to 1 + 0 = 1, então \ln(\cos x + x)\to \ln 1 = 0. O denominador x\to 0. Logo a expressão \dfrac{\ln(\cos x + x)}{x} é um caso de forma indeterminada 0/0. Isso permite aplicar a regra de L’Hospital, desde que as funções envolvidas sejam diferenciáveis próximas de 0 (o que ocorre aqui).
Breve lembrete (didático) da Regra de L’Hospital:
se \lim_{x\to a} \dfrac{u(x)}{v(x)} é 0/0 ou \infty/\infty, e u e v são diferenciáveis em torno de a com v'(x)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{x\to a} \frac{u(x)}{v(x)} = \lim_{x\to a} \frac{u'(x)}{v'(x)}
desde que o limite do lado direito exista (ou seja \pm\infty).

Passo 4

Vamos aplicar L’Hospital a
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x + x)}{x}.
Aqui u(x)=\ln(\cos x + x) e v(x)=x. Calculamos as derivadas.
Derivada do denominador:
v'(x)=1.
Derivada do numerador: usar regra da cadeia.
Se u(x)=\ln(h(x)) então u'(x)=\dfrac{h'(x)}{h(x)}.
Aqui h(x)=\cos x + x. Então
h'(x) = -\sin x + 1.
Portanto
u'(x)=\frac{-\sin x + 1}{\cos x + x}.

Passo 5

Pela regra de L’Hospital,
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x + x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{-\sin x + 1}{\cos x + x}.
Agora avaliamos o limite direto, substituindo x=0 (já que numerador e denominador são contínuos neste ponto):
\frac{-\sin 0 + 1}{\cos 0 + 0} = \frac{0 + 1}{1 + 0} = 1.
Logo \displaystyle \lim_{x\to 0}\ln y(x) = 1.

Passo 6

Voltando à relação entre y(x) e \ln y(x): como \lim_{x\to 0}\ln y(x)=1 e a exponencial é contínua, obtemos
\lim_{x\to 0} y(x) = e^{1} = e.

Resposta

e

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