Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
é a função cosseno e sabemos que
.
O objetivo é encontrar o valor numérico do limite quando tende a
.
Não há outras condições ou dados ocultos no enunciado.
O objetivo é encontrar o valor numérico do limite quando
Não há outras condições ou dados ocultos no enunciado.
Passo 2
Transformação padrão para limites de potências: se temos uma expressão da forma
, é conveniente tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto. Assim, definimos
e consideramos
Se conseguirmos calcular
e esse limite for
finito, então o limite original será
, porque a função exponencial é contínua:
Passo 3
Analisando a forma da nova expressão:
quando temos
, então
. O denominador
. Logo a expressão
é um caso de forma indeterminada
. Isso permite aplicar a regra de L’Hospital, desde que as funções envolvidas sejam diferenciáveis próximas de
(o que ocorre aqui).
quando
Breve lembrete (didático) da Regra de L’Hospital:
se é
ou
, e
e
são diferenciáveis em torno de
com
próximo de
, então
se
desde que o limite do lado direito exista (ou seja
).
Passo 4
Vamos aplicar L’Hospital a
Aqui
e
. Calculamos as derivadas.
Derivada do denominador:
Derivada do numerador: usar regra da cadeia.
Se então
.
Aqui . Então
Se
Aqui
Portanto
Passo 5
Pela regra de L’Hospital,
Agora avaliamos o limite direto, substituindo
(já que numerador e denominador são contínuos neste ponto):
Logo
.
Passo 6
Voltando à relação entre
e
: como
e a exponencial é contínua, obtemos