Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}-\frac{x-e^{-x}}{y+e^{y}}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\frac{d y}{d x}-\frac{x-e^{-x}}{y+e^{y}}=0.
Este é um caso de equação de variáveis separáveis, pois podemos escrever \frac{d y}{d x} como uma função de x dividida por uma função de y. Vamos separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Isolamos \frac{d y}{d x}:
\frac{d y}{d x}=\frac{x-e^{-x}}{y+e^{y}}.
Agora multiplicamos ambos os lados por (y+e^{y})\,dx para obter
(y+e^{y})\,dy=(x-e^{-x})\,dx,
com as variáveis separadas.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int (y+e^{y})\,dy \;=\;\int (x-e^{-x})\,dx.

Passo 4

Calculamos cada integral. No lado esquerdo:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}, \qquad \int e^{y}\,dy=e^{y},
portanto
\int (y+e^{y})\,dy=\frac{y^{2}}{2}+e^{y}.
No lado direito:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}, \qquad \int (-e^{-x})\,dx =-\bigl(-e^{-x}\bigr) =e^{-x},
logo
\int (x-e^{-x})\,dx=\frac{x^{2}}{2}+e^{-x}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Igualando as duas expressões integradas, obtemos a solução implícita
\frac{y^{2}}{2}+e^{y} = \frac{x^{2}}{2}+e^{-x}+C.

Resposta

\frac{y^{2}}{2}+e^{y} = \frac{x^{2}}{2}+e^{-x}+C,
que é a forma geral da solução da equação diferencial dada.

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