Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
3 x y^{\prime}=\left(1-y^{2}\right)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3x\,\frac{dy}{dx}=\sqrt{1-y^2}
e pede a solução geral. Trata-se de uma equação de variáveis separáveis: podemos isolar termos em y de um lado e em x do outro para integrar.

Passo 2

Reescrevendo para separar variáveis, temos
\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{dx}{3x}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} =\int \frac{dx}{3x}.
No lado esquerdo reconhecemos a primitiva de 1/\sqrt{1-y^2}, que é \arcsin(y). No direito,
\int \frac{dx}{3x} =\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x} =\frac{1}{3}\ln\lvert x\rvert + C_1.

Passo 4

Portanto obtemos
\arcsin(y) =\frac{1}{3}\ln\lvert x\rvert + C_1.
Aplicando o seno em ambos os lados para isolar y, definindo C=C_1, resulta
y(x) =\sin\!\Bigl(\tfrac{1}{3}\ln\lvert x\rvert + C\Bigr).

Resposta

\displaystyle y(x)=\sin\!\Bigl(\frac{1}{3}\ln\lvert x\rvert + C\Bigr), onde C é constante de integração.

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