Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
x y{\prime}+y=x{3}+x
x y{\prime}+y=x{3}+x
Passo 1
O enunciado pede: determinar as soluções gerais da equação diferencial
Informações dadas e observações iniciais:
- A incógnita é a função
. - A variável independente é
. - A equação envolve
. - O coeficiente de
é . Portanto a equação muda de comportamento em (não se pode dividir por quando ). Logo soluções gerais serão obtidas, em primeiro lugar, para intervalos onde (por exemplo ou ). Depois veremos o caso separadamente.
Passo 2
Colocar a equação numa forma padrão onde possamos aplicar um método sistemático. Para
dividimos todos os termos por
:
Aqui escrevemos a equação no formato
com
e
. Dividir por
não é permitido em
, por isso mantemos em mente que esta forma vale somente para
.
Passo 3
Explicação do método que vamos usar (integração por fator integrante), passo a passo, sem pular etapas. Para uma equação da forma
define-se o fator integrante
Por que isso funciona? Porque derivando
temos, pela regra do produto:
Se
(que ocorre quando
), então
ou seja, a equação linear se transforma numa igualdade diferencial direta que se integra facilmente:
Cada símbolo significa:
-
: função que multiplica na forma padrão; -
: termo do lado direito; -
: fator integrante que torna o lado esquerdo uma derivada exata; -
: constante arbitrária de integração.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso
:
Na prática, para trabalhar em intervalos onde
ou
podemos escolher
quando
e
quando
. Multiplicar a equação inteira por
altera apenas um sinal global no caso
, e esse sinal pode ser absorvido pela constante de integração
. Para ficar simples, escolhemos
e lembramos que a solução resulta válida em cada intervalo sem cruzar
.
Passo 5
Multiplicando a equação
por
obtemos
Agora o lado esquerdo é a derivada do produto
. De fato,
Portanto a equação se escreve simplesmente
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
. A integral do lado esquerdo é direta:
A integral do lado direito é
onde
é a constante de integração (um número real arbitrário). Assim obtemos
Passo 7
Isolar
dividindo por
(novamente lembrando
):
Portanto, para cada constante real
obtemos uma solução definida em intervalos que não contêm
(por exemplo
ou
):
Passo 8
Discussão sobre o ponto
e extensão das soluções. A equação original em
vale
As soluções encontradas têm termo
que diverge quando
a menos que
. Se
então
é uma função polinomial e pode ser definida em
por continuidade com
. Essa extensão satisfaz a equação original em
(pois ambos os lados valem
) e é derivável em
com
. Conclusão:
- Soluções definidas em um intervalo que contenha
exigem e então a solução é para todo . - Soluções com
só são válidas em intervalos que não contenham (por exemplo apenas ou apenas ).
Passo 9
Verificação rápida (para conferência na prova): derivar a solução geral e substituir na equação original para checar que dá identidade. Tomando
temos
Então
pois os termos com
se cancelam e os demais somam
. Correto.
Resposta
Se se exige solução definida em todo