Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
x y{\prime}+y=x{3}+x

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções gerais da equação diferencial
x\,y^{\prime}+y=x^{3}+x.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A variável independente é x.
  • A equação envolve y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}.
  • O coeficiente de y^{\prime} é x. Portanto a equação muda de comportamento em x=0 (não se pode dividir por x quando x=0). Logo soluções gerais serão obtidas, em primeiro lugar, para intervalos onde x\neq0 (por exemplo x>0 ou x<0). Depois veremos o caso x=0 separadamente.

Passo 2

Colocar a equação numa forma padrão onde possamos aplicar um método sistemático. Para x\neq0 dividimos todos os termos por x:
y^{\prime}+\frac{1}{x}\,y = x^{2}+1.
Aqui escrevemos a equação no formato
y^{\prime}+P(x)\,y=Q(x),
com P(x)=\dfrac{1}{x} e Q(x)=x^{2}+1. Dividir por x não é permitido em x=0, por isso mantemos em mente que esta forma vale somente para x\neq0.

Passo 3

Explicação do método que vamos usar (integração por fator integrante), passo a passo, sem pular etapas. Para uma equação da forma
y^{\prime}+P(x)\,y=Q(x),
define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Por que isso funciona? Porque derivando \mu(x)\,y(x) temos, pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\,y^{\prime}+\mu^{\prime}\,y.
Se \mu^{\prime}=\mu P (que ocorre quando \mu=\exp(\int P)), então
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\big(y^{\prime}+P y\big)=\mu Q,
ou seja, a equação linear se transforma numa igualdade diferencial direta que se integra facilmente:
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu Q \quad\Rightarrow\quad \mu y=\int \mu Q\,dx + C.
Cada símbolo significa:
  • P(x): função que multiplica y na forma padrão;
  • Q(x): termo do lado direito;
  • \mu(x): fator integrante que torna o lado esquerdo uma derivada exata;
  • C: constante arbitrária de integração.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso P(x)=\dfrac{1}{x}:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp\!\big(\ln|x|\big)=|x|.
Na prática, para trabalhar em intervalos onde x>0 ou x<0 podemos escolher \mu(x)=x quando x>0 e \mu(x)=-x quando x<0. Multiplicar a equação inteira por \mu altera apenas um sinal global no caso x<0, e esse sinal pode ser absorvido pela constante de integração C. Para ficar simples, escolhemos \mu(x)=x e lembramos que a solução resulta válida em cada intervalo sem cruzar 0.

Passo 5

Multiplicando a equação y^{\prime}+\dfrac{1}{x}y=x^{2}+1 por \mu(x)=x obtemos
x\,y^{\prime}+y = x\,(x^{2}+1) = x^{3}+x.
Agora o lado esquerdo é a derivada do produto x y. De fato,
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=x\,y^{\prime}+y.
Portanto a equação se escreve simplesmente
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=x^{3}+x.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x. A integral do lado esquerdo é direta:
\int \frac{d}{dx}\big(xy\big)\,dx = xy.
A integral do lado direito é
\int \big(x^{3}+x\big)\,dx = \int x^{3}\,dx + \int x\,dx = \frac{1}{4}x^{4} + \frac{1}{2}x^{2} + C,
onde C é a constante de integração (um número real arbitrário). Assim obtemos
x\,y = \frac{1}{4}x^{4} + \frac{1}{2}x^{2} + C.

Passo 7

Isolar y dividindo por x (novamente lembrando x\neq0):
y(x)=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+C\right) = \frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x+\frac{C}{x}.
Portanto, para cada constante real C obtemos uma solução definida em intervalos que não contêm 0 (por exemplo x>0 ou x<0):
y(x)=\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x+\frac{C}{x},\qquad x\neq0.

Passo 8

Discussão sobre o ponto x=0 e extensão das soluções. A equação original em x=0 vale
0\cdot y^{\prime}(0)+y(0)=0^{3}+0 \quad\Rightarrow\quad y(0)=0.
As soluções encontradas têm termo \dfrac{C}{x} que diverge quando x\to0 a menos que C=0. Se C=0 então
y(x)=\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x
é uma função polinomial e pode ser definida em x=0 por continuidade com y(0)=0. Essa extensão satisfaz a equação original em x=0 (pois ambos os lados valem 0) e é derivável em 0 com y^{\prime}(0)=\tfrac{1}{2}. Conclusão:
  • Soluções definidas em um intervalo que contenha 0 exigem C=0 e então a solução é y(x)=\tfrac{1}{4}x^{3}+\tfrac{1}{2}x para todo x.
  • Soluções com C\neq0 só são válidas em intervalos que não contenham 0 (por exemplo apenas x>0 ou apenas x<0).

Passo 9

Verificação rápida (para conferência na prova): derivar a solução geral e substituir na equação original para checar que dá identidade. Tomando
y(x)=\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x+\frac{C}{x}
temos
y^{\prime}(x)=\frac{3}{4}x^{2}+\frac{1}{2}-\frac{C}{x^{2}}.
Então
x\,y^{\prime}+y = x\!\left(\frac{3}{4}x^{2}+\frac{1}{2}-\frac{C}{x^{2}}\right) +\left(\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x+\frac{C}{x}\right) = x^{3}+x,
pois os termos com C se cancelam e os demais somam x^{3}+x. Correto.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{4}x^{3}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{C}{x},\quad C\in\mathbb{R},\\ x\neq0.
Se se exige solução definida em todo \mathbb{R}, então C=0 e
y(x)=\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x\\ \text{ para todo }x.

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