Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y^{\prime}-3 y=\operatorname{sen} 2 x
y^{\prime}-3 y=\operatorname{sen} 2 x
Passo 1
O enunciado pede para determinar as soluções gerais da equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear e não homogênea.
- O termo não homogêneo (forçamento) é
.
O que se pede: encontrar a solução geral, ou seja, a solução geral da homogênea mais uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Estratégia escolhida (método): usar o fator integrante (também chamado fator de integração). Razoável porque a equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
Aqui, reescrevendo,
e
. O fator integrante
é definido por
A ideia é multiplicar toda a equação por
para escrever o lado esquerdo como a derivada de um produto:
. Depois integra-se ambos os lados.
Passo 3
Calcular o fator integrante:
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pelo propósito do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto
. Verificação:
Portanto a equação vira
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
Vou calcular
passo a passo por integração por partes (duas vezes), método padrão para integrais do tipo
.
Passo 5
Cálculo de
por partes.
- Escolher
e . Então e .
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Defina
. Assim
- Calcular
por partes: escolha , . Então e . Logo
Simplificando os sinais:
Mas
, então
- Substituir
na expressão para :
Expandindo:
Isolando
no lado esquerdo: some
aos dois lados,
Colocando em comum denominador dentro do parêntese:
, então
Multiplicando ambos os lados por
,
Portanto
Passo 6
Voltar para a expressão obtida no Passo 4:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
onde
é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral: soma da solução particular
com a solução geral da homogênea