Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y^{\prime}-3 y=\operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para determinar as soluções gerais da equação diferencial
y' - 3y = \sin 2x.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear e não homogênea.
  • O termo não homogêneo (forçamento) é \sin 2x.
    O que se pede: encontrar a solução geral y(x), ou seja, a solução geral da homogênea mais uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Estratégia escolhida (método): usar o fator integrante (também chamado fator de integração). Razoável porque a equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
y' + p(x)\,y = q(x).
Aqui, reescrevendo, p(x) = -3 e q(x)=\sin 2x. O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
A ideia é multiplicar toda a equação por \mu(x) para escrever o lado esquerdo como a derivada de um produto: \dfrac{d}{dx}(\mu y)=\mu q. Depois integra-se ambos os lados.

Passo 3

Calcular o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int -3\,dx\right)=\exp(-3x)=e^{-3x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x) obtemos
e^{-3x}y' - 3e^{-3x}y = e^{-3x}\sin 2x.
Pelo propósito do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto e^{-3x}y. Verificação:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-3x}y\bigr)=e^{-3x}y' + (e^{-3x})'y = e^{-3x}y' + (-3e^{-3x})y = e^{-3x}y' - 3e^{-3x}y.
Portanto a equação vira
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-3x}y\bigr)=e^{-3x}\sin 2x.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^{-3x}y=\int e^{-3x}\sin 2x\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
I=\int e^{-3x}\sin 2x\,dx.
Vou calcular I passo a passo por integração por partes (duas vezes), método padrão para integrais do tipo \int e^{ax}\sin(bx)\,dx.

Passo 5

Cálculo de I=\int e^{-3x}\sin 2x\,dx por partes.
  1. Escolher u=\sin 2x e dv=e^{-3x}dx. Então du=2\cos 2x\,dx e v=\int e^{-3x}dx=-\tfrac{1}{3}e^{-3x}.
    Aplicando integração por partes I=uv-\int v\,du:
I = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\sin 2x - \int\!\Big(-\tfrac{1}{3}e^{-3x}\Big)\cdot 2\cos 2x\,dx.
Simplificando:
I = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\sin 2x + \tfrac{2}{3}\int e^{-3x}\cos 2x\,dx.
Defina J=\int e^{-3x}\cos 2x\,dx. Assim
I = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\sin 2x + \tfrac{2}{3}J.
  1. Calcular J por partes: escolha u=\cos 2x, dv=e^{-3x}dx. Então du=-2\sin 2x\,dx e v=-\tfrac{1}{3}e^{-3x}. Logo
J = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\cos 2x - \int\!\Big(-\tfrac{1}{3}e^{-3x}\Big)(-2\sin 2x)\,dx.
Simplificando os sinais:
J = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\cos 2x - \tfrac{2}{3}\int e^{-3x}\sin 2x\,dx.
Mas \int e^{-3x}\sin 2x\,dx = I, então
J = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\cos 2x - \tfrac{2}{3}I.
  1. Substituir J na expressão para I:
I = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\sin 2x + \tfrac{2}{3}\Big(-\tfrac{1}{3}e^{-3x}\cos 2x - \tfrac{2}{3}I\Big).
Expandindo:
I = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\sin 2x - \tfrac{2}{9}e^{-3x}\cos 2x - \tfrac{4}{9}I.
Isolando I no lado esquerdo: some \tfrac{4}{9}I aos dois lados,
I + \tfrac{4}{9}I = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}\sin 2x - \tfrac{2}{9}e^{-3x}\cos 2x.
\tfrac{13}{9}I = -e^{-3x}\Big(\tfrac{1}{3}\sin 2x + \tfrac{2}{9}\cos 2x\Big).
Colocando em comum denominador dentro do parêntese: \tfrac{1}{3}=\tfrac{3}{9}, então
\tfrac{13}{9}I = -e^{-3x}\tfrac{1}{9}\bigl(3\sin 2x + 2\cos 2x\bigr).
Multiplicando ambos os lados por \tfrac{9}{13},
I = -\frac{e^{-3x}}{13}\bigl(3\sin 2x + 2\cos 2x\bigr).
Portanto
\int e^{-3x}\sin 2x\,dx = -\dfrac{e^{-3x}}{13}\bigl(3\sin 2x + 2\cos 2x\bigr) + C.

Passo 6

Voltar para a expressão obtida no Passo 4:
e^{-3x}y = I + C = -\dfrac{e^{-3x}}{13}\bigl(3\sin 2x + 2\cos 2x\bigr) + C.
Multiplicando ambos os lados por e^{3x} para isolar y:
y(x) = -\dfrac{1}{13}\bigl(3\sin 2x + 2\cos 2x\bigr) + C e^{3x},
onde C é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral: soma da solução particular
y_p(x) = -\dfrac{1}{13}\bigl(3\sin 2x + 2\cos 2x\bigr)
com a solução geral da homogênea
y_h(x)=C e^{3x}.

Resposta

y(x)=-\dfrac{1}{13}\bigl(3\sin 2x + 2\cos 2x\bigr) + C e^{3x}, com C\in\mathbb{R}.

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