Determinar três vetores em \mathbb{R}^{n} que sejam linearmente dependentes e tais que dois quaisquer deles sejam linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede três vetores em \mathbb{R}^n que sejam linearmente dependentes em conjunto, mas tal que qualquer par desses vetores seja linearmente independente. O conteúdo aqui é definição de combinação linear, independência e dependência linear em espaços vetoriais.

Passo 2

Para concretizar, basta trabalhar em \mathbb{R}^2 (e então estender com zeros se n>2). Definimos
v_1 = (1,0),\quad v_2 = (0,1),\quad v_3 = (1,1).
Em \mathbb{R}^n com n\ge2, tomamos
v_1 = (1,0,0,\dots,0),\quad v_2 = (0,1,0,\dots,0),\quad v_3 = (1,1,0,\dots,0).

Passo 3

Verificamos que todo par é independente. Por exemplo, para (v_1,v_2) suponha \alpha v_1 + \beta v_2 = 0. Isso dá o sistema
(\alpha,\,\beta) = (0,\,0),
logo \alpha=\beta=0. De modo análogo, para (v_1,v_3) a combinação
\alpha(1,0)+\beta(1,1)=(0,0)
gera o sistema
\alpha+\beta=0,\quad \beta=0
e novamente \alpha=\beta=0. O mesmo vale para (v_2,v_3).

Passo 4

Agora mostramos que o trio (v_1,v_2,v_3) é linearmente dependente. Observe que
1\cdot v_1 \;+\;1\cdot v_2 \;-\;1\cdot v_3 \;=\;(1,0)+(0,1)-(1,1)=(0,0),
ou seja, existe combinação não trivial de coeficientes (1,1,-1) que anula v_1,v_2,v_3. Logo são linearmente dependentes.

Resposta

Podemos tomar
v_1=(1,0,0,\dots,0),\quad v_2=(0,1,0,\dots,0),\quad v_3=(1,1,0,\dots,0)
em \mathbb{R}^n com n\ge2. Esses três vetores satisfazem que qualquer par é independente, mas juntos são dependentes.

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