Determinar três vetores em
que sejam linearmente dependentes e tais que dois quaisquer deles sejam linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado pede três vetores em
que sejam linearmente dependentes em conjunto, mas tal que qualquer par desses vetores seja linearmente independente. O conteúdo aqui é definição de combinação linear, independência e dependência linear em espaços vetoriais.
Passo 2
Para concretizar, basta trabalhar em
(e então estender com zeros se
). Definimos
Em
com
, tomamos
Passo 3
Verificamos que todo par é independente. Por exemplo, para
suponha
. Isso dá o sistema
logo
. De modo análogo, para
a combinação
gera o sistema
e novamente
. O mesmo vale para
.
Passo 4
Agora mostramos que o trio
é linearmente dependente. Observe que
ou seja, existe combinação não trivial de coeficientes
que anula
. Logo são linearmente dependentes.
Resposta
Podemos tomar
em
com
. Esses três vetores satisfazem que qualquer par é independente, mas juntos são dependentes.