Determinar, utilizando a Tabela, as transformadas de Laplace para as seguintes funções:
t^{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar, utilizando a Tabela, a transformada de Laplace da função \,t^{2}\,.\n
Informações dadas: a função a transformar é \,t^{2}\, e devo usar a Tabela de transformadas (ou uma entrada padrão dela) para obter \mathcal{L}\{t^{2}\}(s). Não há outros dados no enunciado.

Passo 2

Definição e notação (o básico que você precisa entender antes de aplicar a tabela).\n
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, para funções polinomiais tomamos s real e suficientemente grande para garantir convergência). Aqui t é a variável original do tempo, e s é a variável da transformada. A condição de convergência que vamos usar é s>0, que garante que e^{-st} decai quando t\to\infty.

Passo 3

Entrada útil da Tabela (explicando a fórmula que estamos autorizados a usar).\n
Uma entrada padrão da Tabela de transformadas diz, para inteiro não negativo n,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},\quad \text{para } s>0.
Aqui n! significa o fatorial de n (por exemplo 2!=2). Essa entrada vem do cálculo direto da integral da definição ou, de forma mais geral, da relação com a função Gama. Como o enunciado pediu explicitamente para usar a Tabela, aplicamos essa entrada.

Passo 4

Aplicando a entrada da Tabela ao caso \,t^{2}\,.\n
Tomamos n=2 na fórmula da Tabela:
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2!}{s^{2+1}}=\frac{2}{s^{3}},\quad s>0.
Pronto — esse é o resultado direto pela Tabela.

Passo 5

Verificação passo a passo via definição (opcional, mas ótima para fixar; mostro as contas para você saber como a Tabela é obtida).\n
Começamos com a definição:
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt.
Fazemos integração por partes para calcular a integral. Escolhemos u=t^{2} e dv=e^{-s t}dt. Então du=2t\,dt e v=-\frac{1}{s}e^{-s t}. Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt = \left. -\frac{t^{2}}{s} e^{-s t}\right|_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} 2t\, e^{-s t}\,dt.
Analisando o termo de fronteira: para s>0 temos t^{2}e^{-st}\to 0 quando t\to\infty, e no t=0 é zero; logo o termo de fronteira é 0. Assim
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt = \frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t\, e^{-s t}\,dt.
Agora calculamos \int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt por outra integração por partes: escolha u=t, dv=e^{-st}dt, então du=dt, v=-\frac{1}{s}e^{-st}. Assim
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt = \left. -\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
O termo de fronteira novamente é zero para s>0. E
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \left[ -\frac{1}{s} e^{-st}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s}.
Portanto
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Voltando à expressão anterior:
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt = \frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}.
Isso confirma o resultado da Tabela e mostra passo a passo como ele aparece.

Passo 6

Observações finais e dica rápida para a prova.\n
  • Resultado principal: \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\dfrac{2}{s^{3}} com região de convergência s>0.\n
  • Dica prática: memorizando a entrada genérica \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}} você resolve rapidamente casos polinomiais na prova. Se tiver dúvida, faça integração por partes repetidas como mostrei.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\dfrac{2}{s^{3}},\;s>0

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