Determine a ultrapassagem percentual, o tempo de assentamento, o tempo de subida e instante de pico para:
T(s)=\frac{14,145}{\left(s^{2}+1,204 s+2,829\right)(s+5)}

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Temos a função de transferência
T(s)=\frac{14,145}{\left(s^{2}+1,204\,s+2,829\right)(s+5)}.
O enunciado pede, para a resposta ao degrau unitário (pressuposto padrão em controle), as quantidades:
  • ultrapassagem percentual (percentual de overshoot);
  • tempo de assentamento (critério de 2\%);
  • tempo de subida (tempo até a primeira vez que a resposta atinge o valor final, isto é, 0\%\to100\% na primeira subida);
  • instante de pico (tempo do primeiro pico máximo).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • o denominador tem um fator quadrático \left(s^{2}+1,204\,s+2,829\right) e um pólo adicional em s=-5;
  • os coeficientes do polinômio quadrático são 1,204 e 2,829;
  • a constante do numerador é 14,145.

Passo 2

Identificar os parâmetros do segundo-ordem dominante. Para sistemas subamortecidos essas métricas são dominadas pelos polos da parte quadrática. Escrevemos o termo quadrático no formato padrão de um sistema de segunda ordem:
s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}.
Comparando com \left(s^{2}+1,204\,s+2,829\right) obtemos as igualdades
\omega_{n}^{2}=2,829,\qquad 2\zeta\omega_{n}=1,204.
Calculemos \omega_{n} e \zeta.
Cálculo de \omega_{n}:
\omega_{n}=\sqrt{2,829}\approx 1,6814.
Cálculo de \zeta:
\zeta=\frac{1,204}{2\omega_{n}}=\frac{1,204}{2\cdot 1,6814}\approx 0,3580.
Explicação didática: \omega_{n} é a frequência natural (rad/s) do modo dominante; \zeta é o coeficiente de amortecimento (adimensional). Para um sistema de segunda ordem subamortecido temos 0<\zeta<1.

Passo 3

Ultrapassagem percentual (percent overshoot). Fórmula padrão para o overshoot máximo relativo (em percentual) de um sistema subamortecido sujeito a degrau unitário:
M_{p} = e^{-\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}\times 100\%.
Aqui:
  • \zeta é o coeficiente de amortecimento (já calculado);
  • a expressão vem da forma analítica da resposta transitória subamortecida.
Calculemos os termos intermediários:
\sqrt{1-\zeta^{2}}=\sqrt{1-0,3580^{2}}\approx 0,9339.
O expoente fica
-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=-\frac{0,3580\cdot\pi}{0,9339}\approx -1,2057.
Portanto
M_{p}=e^{-1,2057}\times100\%\approx 29,99\%\approx 30,0\%.

Passo 4

Instante de pico (tempo do primeiro pico) t_{p}. Fórmula padrão:
t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}},
onde \omega_{d} é a frequência amortecida definida por
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Calculemos \omega_{d}:
\omega_{d}=1,6814\cdot 0,9339\approx 1,5701\\ \text{(rad/s)}.
Logo
t_{p}=\frac{\pi}{1,5701}\approx 2,000\\ \text{s}.
Breve explicação: o pico ocorre quando o termo seno da resposta tem argumento igual a \pi, daí a expressão \pi/\omega_{d}.

Passo 5

Tempo de subida t_{r} (definido aqui como a primeira vez em que a resposta atinge o valor final, isto é, 0\to100\% na primeira passagem). Para um sistema subamortecido, a resposta ao degrau pode ser escrita de modo que a primeira vez em que ela atinge o valor final corresponde ao instante
t_{r}=\frac{\pi-\varphi}{\omega_{d}},
onde o ângulo \varphi é dado por
\varphi=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{1-\zeta^{2}}}{\zeta}\right).
Explicação rápida: essa \varphi aparece ao escrever a parte oscilatória da resposta como \sin(\omega_{d}t+\varphi); resolver para a primeira vez que a senoidal cancela o termo exponencial leva à condição \omega_{d}t+\varphi=\pi.
Calculemos \varphi:
\varphi=\arctan\!\left(\frac{0,9339}{0,3580}\right)=\arctan(2,608)\approx 1,2057\\ \text{rad}.
Então
t_{r}=\frac{\pi-1,2057}{1,5701}=\frac{1,9359}{1,5701}\approx 1,233\\ \text{s}.
Observação pedagógica: algumas referências definem tempo de subida como tempo entre 10\% e 90\% da resposta — nesse caso o valor seria diferente; aqui usamos a definição clássica 0→100% (primeira vez).

Passo 6

Tempo de assentamento T_{s} (critério de 2\%). Para sistemas subamortecidos usa-se a aproximação:
T_{s}\approx \frac{4}{\zeta\omega_{n}}
para garantir que o termo exponencial e^{-\zeta\omega_{n}t} seja pequeno (aprox. <2\%). Calculemos:
\zeta\omega_{n}=0,3580\cdot 1,6814\approx 0,6020,
logo
T_{s}\approx \frac{4}{0,6020}\approx 6,644\\ \text{s}.
(Se quisessem o critério de 5\% usaríamos T_{s}\approx 3/(\zeta\omega_{n})\approx 4,983\ \text{s}.)

Passo 7

Validade da aproximação de segunda ordem. Temos um pólo adicional em s=-5 (obtido do fator (s+5) no denominador). Esse pólo tem constante de tempo 1/5=0,2\\ \text{s}, muito mais rápido que as dinâmicas dominantes (constante de tempo aproximadamente 1/( \zeta\omega_{n})\approx 1/0,6020\approx1,66\\ \text{s}). Portanto o pólo em -5 é rápido e praticamente não altera as métricas associadas aos polos dominantes da parte quadrática; assim as fórmulas usadas (baseadas na parte de segunda ordem) são apropriadas.

Resposta

Ultrapassagem percentual: 30,0\%
Tempo de assentamento (2%): 6,644\\ \text{s}
Tempo de subida (primeira vez 0→100%): 1,233\\ \text{s}
Instante de pico: 2,000\\ \text{s}

Exercícios relacionados