Determine a ultrapassagem percentual, o tempo de assentamento, o tempo de subida e instante de pico para:
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. Temos a função de transferência
O enunciado pede, para a resposta ao degrau unitário (pressuposto padrão em controle), as quantidades:
- ultrapassagem percentual (percentual de overshoot);
- tempo de assentamento (critério de
); - tempo de subida (tempo até a primeira vez que a resposta atinge o valor final, isto é,
na primeira subida); - instante de pico (tempo do primeiro pico máximo).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- o denominador tem um fator quadrático
e um pólo adicional em ; - os coeficientes do polinômio quadrático são
e ; - a constante do numerador é
.
Passo 2
Identificar os parâmetros do segundo-ordem dominante. Para sistemas subamortecidos essas métricas são dominadas pelos polos da parte quadrática. Escrevemos o termo quadrático no formato padrão de um sistema de segunda ordem:
Comparando com
obtemos as igualdades
Calculemos
e
.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Explicação didática:
é a frequência natural (rad/s) do modo dominante;
é o coeficiente de amortecimento (adimensional). Para um sistema de segunda ordem subamortecido temos
.
Passo 3
Ultrapassagem percentual (percent overshoot). Fórmula padrão para o overshoot máximo relativo (em percentual) de um sistema subamortecido sujeito a degrau unitário:
Aqui:
-
é o coeficiente de amortecimento (já calculado); - a expressão vem da forma analítica da resposta transitória subamortecida.
Calculemos os termos intermediários:
O expoente fica
Portanto
Passo 4
Instante de pico (tempo do primeiro pico)
. Fórmula padrão:
onde
é a frequência amortecida definida por
Calculemos
:
Logo
Breve explicação: o pico ocorre quando o termo seno da resposta tem argumento igual a
, daí a expressão
.
Passo 5
Tempo de subida
(definido aqui como a primeira vez em que a resposta atinge o valor final, isto é,
na primeira passagem). Para um sistema subamortecido, a resposta ao degrau pode ser escrita de modo que a primeira vez em que ela atinge o valor final corresponde ao instante
onde o ângulo
é dado por
Explicação rápida: essa
aparece ao escrever a parte oscilatória da resposta como
; resolver para a primeira vez que a senoidal cancela o termo exponencial leva à condição
.
Calculemos
:
Então
Observação pedagógica: algumas referências definem tempo de subida como tempo entre
e
da resposta — nesse caso o valor seria diferente; aqui usamos a definição clássica 0→100% (primeira vez).
Passo 6
Tempo de assentamento
(critério de
). Para sistemas subamortecidos usa-se a aproximação:
para garantir que o termo exponencial
seja pequeno (aprox.
). Calculemos:
logo
(Se quisessem o critério de
usaríamos
Passo 7
Validade da aproximação de segunda ordem. Temos um pólo adicional em
(obtido do fator
no denominador). Esse pólo tem constante de tempo
, muito mais rápido que as dinâmicas dominantes (constante de tempo aproximadamente
). Portanto o pólo em
é rápido e praticamente não altera as métricas associadas aos polos dominantes da parte quadrática; assim as fórmulas usadas (baseadas na parte de segunda ordem) são apropriadas.
Resposta
Ultrapassagem percentual:
Tempo de assentamento (2%):
Tempo de subida (primeira vez 0→100%):
Instante de pico:
Tempo de assentamento (2%):
Tempo de subida (primeira vez 0→100%):
Instante de pico: