Determine, utilizando a Tabela, as transformadas de Laplace para:
Uma tensão rampa que inicia em t=2 s e aumenta na razão de 3 V / s.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma tensão que é uma rampa que começa em t=2\\ \text{s} e cresce à razão de 3\\ \text{V/s}.\n
Informações dadas:
  • A rampa começa em t=2\\ \text{s}.
  • A inclinação (taxa de crescimento) é 3\\ \text{V/s}.
  • Queremos a transformada de Laplace dessa função de tempo.

Passo 2

Definição básica que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt.
Aqui t é a variável de tempo (domínio temporal) e s é a variável complexa da transformada. Essa fórmula é a definição, mas para sinais deslocados no tempo é mais prático usar a propriedade de deslocamento no tempo (time-shift).

Passo 3

Propriedade do deslocamento no tempo (fórmula da tabela que você deve conhecer):
\mathcal{L}\{f(t-a)\,u(t-a)\}(s)=e^{-a s}\,F(s),
onde u(t-a) é o degrau unitário deslocado que “liga” a função em t=a, e F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s) é a transformada de f(t) sem deslocamento. Explicando as letras:
  • a é o instante de deslocamento (aqui será 2).
  • f(t-a) é a forma da função quando escrita em termos do tempo desde a.
  • u(t-a) garante que a função é zero para t<a.
  • F(s) é a transformada normal (sem deslocamento) de f(t).
Um exemplo simples: se f(t)=t, então \mathcal{L}\{t\}(s)=1/s^{2} (esta é uma entrada da tabela).

Passo 4

Vamos escrever matematicamente a rampa pedida. Como a rampa começa em t=2 e cresce com inclinação 3, a forma mais direta é
v(t)=3\,(t-2)\,u(t-2).
Aqui o fator 3 é a inclinação, e (t-2)u(t-2) é a rampa padrão que vale zero para t<2 e cresce linearmente a partir de t=2.\n
Pela propriedade de deslocamento do Passo 3, tomando f(t)=t (pois f(t-2)=t-2), temos
\mathcal{L}\{(t-2)u(t-2)\}(s)=e^{-2 s}\,\mathcal{L}\{t\}(s).
Da tabela, \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}}. Portanto
\mathcal{L}\{(t-2)u(t-2)\}(s)=e^{-2 s}\cdot \frac{1}{s^{2}}.
Como a função tem o fator 3, multiplicamos por 3:
\mathcal{L}\{v(t)\}(s)=3\cdot e^{-2 s}\cdot \frac{1}{s^{2}}.

Passo 5

Verificação por integração direta (opcional, mas útil para fixar): aplicar a definição
\mathcal{L}\{v(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} 3(t-2)u(t-2)\,e^{-s t}\,dt=\int_{2}^{\infty} 3(t-2)\,e^{-s t}\,dt.
Faça a mudança de variável \tau=t-2, de modo que quando t=2 temos \tau=0 e t=\tau+2. A integral vira
\int_{0}^{\infty} 3\tau\,e^{-s(\tau+2)}\,d\tau = 3e^{-2 s}\int_{0}^{\infty} \tau\,e^{-s\tau}\,d\tau.
Da tabela de integrais (ou usando \int_{0}^{\infty} \tau^{n}e^{-s\tau}d\tau=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para n=1) obtemos
\int_{0}^{\infty} \tau\,e^{-s\tau}\,d\tau=\frac{1}{s^{2}}.
Logo a integral dá 3e^{-2 s}\cdot \dfrac{1}{s^{2}}, confirmando o resultado do Passo 4.

Resposta

\dfrac{3e^{-2s}}{s^{2}}

Exercícios relacionados