Determine, utilizando a Tabela, as transformadas de Laplace para:
Uma tensão rampa que inicia em
e aumenta na razão de
.
Uma tensão rampa que inicia em
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace de uma tensão que é uma rampa que começa em
e cresce à razão de
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A rampa começa em
. - A inclinação (taxa de crescimento) é
. - Queremos a transformada de Laplace dessa função de tempo.
Passo 2
Definição básica que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função
é
Aqui
é a variável de tempo (domínio temporal) e
é a variável complexa da transformada. Essa fórmula é a definição, mas para sinais deslocados no tempo é mais prático usar a propriedade de deslocamento no tempo (time-shift).
Passo 3
Propriedade do deslocamento no tempo (fórmula da tabela que você deve conhecer):
onde
é o degrau unitário deslocado que “liga” a função em
, e
é a transformada de
sem deslocamento. Explicando as letras:
-
é o instante de deslocamento (aqui será ). -
é a forma da função quando escrita em termos do tempo desde . -
garante que a função é zero para . -
é a transformada normal (sem deslocamento) de .
Um exemplo simples: se
, então
(esta é uma entrada da tabela).
Passo 4
Vamos escrever matematicamente a rampa pedida. Como a rampa começa em
e cresce com inclinação
, a forma mais direta é
Aqui o fator
é a inclinação, e
é a rampa padrão que vale zero para
e cresce linearmente a partir de
.\n
Pela propriedade de deslocamento do Passo 3, tomando (pois
), temos
Pela propriedade de deslocamento do Passo 3, tomando
Da tabela,
. Portanto
Como a função tem o fator
, multiplicamos por
:
Passo 5
Verificação por integração direta (opcional, mas útil para fixar): aplicar a definição
Faça a mudança de variável
, de modo que quando
temos
e
. A integral vira
Da tabela de integrais (ou usando
para
) obtemos
Logo a integral dá
, confirmando o resultado do Passo 4.