a) Determinar para qual valor r do raio dos arredondamentos a tensão será a mesma em A e nos arredondamentos. b) Se a tensão admissível é de 150 MPa , que valor tem a carga admissível P ?

Passo 1

O problema modela uma barra em balanço presa na parede, de espessura 10,mm, com dois trechos de altura distinta (trecho maior de 90,mm junto à parede, trecho menor de 60,mm na extremidade livre) e um furo de diâmetro 10,mm no trecho maior. A carga P aplica-se horizontalmente na extremidade livre, gerando momento fletor variável ao longo do comprimento. Queremos:
– (a) o valor do raio de filete r no entalhe de redução de seção para que a tensão máxima no entalhe seja igual à tensão máxima junto ao furo em A.
– (b) sabendo tensão admissível \sigma_{\rm adm}=150,MPa, a carga admissível P.
Para resolver precisamos
  1. Expressar os momentos fletores nos dois pontos críticos (entalhe e furo).
  2. Calcular os momentos de inércia e módulos de seção neto no furo e bruto no entalhe.
  3. Incluir fatores de concentração de tensão K_{t} para o entalhe (e, se quiser, para o furo).
  4. Impor igualdade das tensões concentradas e extrair r.

Passo 2

Definindo o eixo x medido da extremidade livre até a parede:
– O entalhe fica a x_{F}=0{,}3,m da carga, logo
M_F \;=\; P\,x_F \;=\; 0{,}3\,P.
– O furo em A está no trecho maior; assumindo-o a meia-distância do trecho de 0,4,m, temos x_A=0{,}3+0{,}2=0{,}5,m e
M_A \;=\; P\,x_A \;=\; 0{,}5\,P.

Passo 3

Calcular inércia e módulo de seção em cada ponto (em mm e N\cdot mm):
– Trecho grande com furo (altura h_1=90,mm, espessura t=10,mm):
I_{\rm ret}=\frac{t\,h_1^3}{12}, \quad I_{\rm furo}=\frac{\pi\,d^4}{64}, \quad I_A=I_{\rm ret}-I_{\rm furo},
S_A=\frac{I_A}{h_1/2}\,.
– Trecho reduzido no entalhe (altura h_2=60,mm, mesma espessura):
I_F=\frac{t\,h_2^3}{12}, \quad S_F=\frac{I_F}{h_2/2}\,.

Passo 4

A tensão máxima concentrada no furo (puxando em tração devido ao momento) é
\sigma_A=\frac{M_A}{S_A}\;K_{t,A},
e no entalhe
\sigma_F=\frac{M_F}{S_F}\;K_{t,F}(r\,/\,h_2,\;h_1/h_2).
Para igualá-las impomos
\frac{M_A}{S_A}\;K_{t,A} \;=\; \frac{M_F}{S_F}\;K_{t,F}(r).

Passo 5

Desse balanço segue a condição necessária para K_{t,F}:
K_{t,F}(r) \;=\; \frac{M_A/S_A}{M_F/S_F}\;K_{t,A} \;=\; \frac{0,5/ S_A}{0,3/ S_F}\;K_{t,A} \;=\; \frac{0{,}5}{0{,}3}\,\frac{S_F}{S_A}\;K_{t,A}.
Os valores numéricos de S_F e S_A saem do passo 3.
Depois toca usar o gráfico ou fórmula de concentração para ombrear K_{t,F} em função de r/h_2.

Passo 6

Sem dispor do diagrama ou expressão de K_{t,F} versus razão de raio r/h_2 (nem do possível K_{t,A} para o furo), não é viável calcular numeric­amente o valor de r. Consequentemente, também não dá para obter P em (b).

Resposta

Não é possível determinar r nem P sem os valores (gráfico ou equação) do fator de concentração de tensão K_{t,F}(r/h_2).

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