1. Determine as forças de tração nos cabos A B, B C e C D, necessárias para suportar os semáforos de 10 kg e 15 kg em B e C, respectivamente. Além disso, determine o ângulo \theta.

Passo 1

O enunciado mostra três cabos articulados nos pontos A, B, C e D. Nos pontos B e C estão suspensos semáforos de massa 10\:\text{kg} e 15\:\text{kg}, respectivamente. O cabo AB faz \ang{15} acima da horizontal (visto de B para A), o cabo BC é horizontal, e o cabo CD forma um ângulo \theta acima da horizontal (visto de C para D). Queremos as tensões
T_{AB},\;T_{BC},\;T_{CD}
e o ângulo \theta. Vamos usar equilíbrio estático em cada nó (soma de forças nula) e tomar g=9{,}81\:\text{m/s}^2.

Passo 2

Nodo em B: as forças são
  • T_{AB} puxando para a esquerda e para cima com componentes \bigl(T_{AB}\cos15^\circ,\;T_{AB}\sin15^\circ\bigr),
  • T_{BC} puxando para a direita (componente horizontal T_{BC}),
  • peso W_B = m_B g = 10\cdot9{,}81 = 98{,}1\:\text{N} para baixo.
    Equilíbrio em x- e y-direções:
\begin{cases} -\;T_{AB}\cos15^\circ + T_{BC} = 0,\\[6pt] \;T_{AB}\sin15^\circ - W_B = 0. \end{cases}]

Passo 3

Da segunda equação temos
T_{AB} = \frac{W_B}{\sin15^\circ} = \frac{98{,}1}{\sin15^\circ} \approx 379{,}2\:\text{N}.
Substituindo na primeira,
T_{BC} = T_{AB}\cos15^\circ \approx 379{,}2\cdot\cos15^\circ \approx 366{,}6\:\text{N}.

Passo 4

Nodo em C: as forças são
  • T_{BC} puxando para a esquerda com intensidade 366{,}6\:\text{N},
  • T_{CD} puxando para a direita e para cima com componentes \bigl(T_{CD}\cos\theta,\;T_{CD}\sin\theta\bigr),
  • peso W_C = m_C g = 15\cdot9{,}81 = 147{,}15\:\text{N} para baixo.
    Equilíbrio em x e y:
\begin{cases} \;T_{CD}\cos\theta - T_{BC} = 0,\\[6pt] \;T_{CD}\sin\theta - W_C = 0. \end{cases}]

Passo 5

Dividindo a segunda pela primeira equação em C elimina T_{CD}:
\tan\theta = \frac{W_C}{T_{BC}} = \frac{147{,}15}{366{,}6} \approx 0{,}4015 \quad\Longrightarrow\quad \theta \approx 21{,}9^\circ.
Então de T_{CD}\cos\theta = T_{BC} vem
T_{CD} = \frac{T_{BC}}{\cos\theta} \approx \frac{366{,}6}{\cos21{,}9^\circ} \approx 394{,}9\:\text{N}.

Resposta

T_{AB}\approx379{,}2\:\text{N} T_{BC}\approx366{,}6\:\text{N} T_{CD}\approx394{,}9\:\text{N} \theta\approx21{,}9^\circ

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