Determine o movimento horizontal do ponto A, devido a uma queda de 45^{\circ} \mathrm{C} na temperatura. Admita que o membro A E tenha um coeficiente de dilatação térmica insignificante. Adotar para o aço estrutural E=200 \mathrm{GPa} e \alpha=11,9 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C} e para a liga de alumínio E=70 \mathrm{GPa} e \alpha=22,5 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O sistema consiste em dois tirantes horizontais de comprimento L=300,mm, um de aço (entre B e C) e outro de liga de alumínio (entre D e E), ambos presos nas extremidades esquerdas e ligados rigidamente a um membro vertical AE (coeficiente de dilatação térmica desprezível) nas extremidades direitas C e E. Devido a uma queda de temperatura de \Delta T = 45\hs\!^\circ\mathrm{C}, os tirantes tendem a se contrair, forçando o membro AE a deslocar-se horizontalmente de uma distância \delta. Para resolver precisamos de:
  1. cálculo das contrações térmicas livres \Delta L_{\rm th} de cada tirante;
  2. relação de compatibilidade que combina contração térmica e deformação elástica de cada tirante;
  3. equilíbrio de forças horizontais no membro AE F_{\rm aço}+F_{\rm alumínio}=0çí;
  4. extração de \delta.

Passo 2

Calculemos as contrações térmicas livres (negativas porque há queda de temperatura):
\Delta L_{\rm th,s} = -\alpha_{\rm s}\,L\,\Delta T = -\bigl(11{,}9\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C}\bigr)\,(300\,\mathrm{mm})\,(45^\circ\mathrm{C}) = -0{,}16065\;\mathrm{mm},
\Delta L_{\rm th,a} = -\alpha_{\rm a}\,L\,\Delta T = -\bigl(22{,}5\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C}\bigr)\,(300\,\mathrm{mm})\,(45^\circ\mathrm{C}) = -0{,}30375\;\mathrm{mm}.

Passo 3

Seja \delta o deslocamento horizontal do membro AE (para a esquerda, tomado positivo). Então a extremidade direita de cada tirante se move \delta, e a compatibilidade de comprimento impõe
\Delta L_{\rm th} + \Delta L_{\rm el} = -\,\delta,
onde \Delta L_{\rm el} = \dfrac{F\,L}{E\,A}.
Para o aço:
-0{,}16065 + \frac{F_{\rm s}\,L}{E_{\rm s}A} = -\delta \quad\Longrightarrow\quad F_{\rm s} = \frac{E_{\rm s}A}{L}\,(-\delta +0{,}16065).
Para o alumínio:
-0{,}30375 + \frac{F_{\rm a}\,L}{E_{\rm a}A} = -\delta \quad\Longrightarrow\quad F_{\rm a} = \frac{E_{\rm a}A}{L}\,(-\delta +0{,}30375).

Passo 4

O membro AE está livre para deslocar horizontalmente e não tem outras ligações que gerem forças além de F_{\rm s} (em C) e F_{\rm a} (em E), logo
F_{\rm s} + F_{\rm a} = 0.
Substituindo os valores de F_{\rm s} e F_{\rm a} e cancelando A/L:
E_{\rm s}(-\delta +0{,}16065)+E_{\rm a}(-\delta +0{,}30375)=0.

Passo 5

Agrupando em \delta:
-(E_{\rm s}+E_{\rm a})\,\delta +\bigl(E_{\rm s}\,0{,}16065+E_{\rm a}\,0{,}30375\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; \delta=\frac{E_{\rm s}\,0{,}16065+E_{\rm a}\,0{,}30375}{E_{\rm s}+E_{\rm a}}.
Com E_{\rm s}=200\,\mathrm{GPa} e E_{\rm a}=70\,\mathrm{GPa}:
\delta =\frac{200\cdot0{,}16065 + 70\cdot0{,}30375}{200+70}\;\mathrm{mm} =\frac{32{,}13+21{,}26}{270}\;\mathrm{mm} \approx0{,}198\;\mathrm{mm}.

Resposta

O ponto A desloca-se horizontalmente cerca de 0{,}198,mm em direção aos tirantes (para a esquerda).

Exercícios relacionados