Determinar o valor de m para que o sistema \left\{\begin{array}{c}m x+2 y-z=1 \\\ x-3 y+z=0 \\\ x+2 z=2\end{array}\right. seja possível e d eterminado

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas que depende de um parâmetro m, e pede os valores de m para que o sistema seja possível e determinado, ou seja, que tenha solução única. Para isso, vamos montar a matriz de coeficientes A e calcular o determinante \det A, usando a condição de que um sistema Ax=b de quadrado 3\times3 tem solução única se, e somente se, \det A\neq0.

Passo 2

A matriz de coeficientes A e o vetor dos termos independentes b são:
A = \begin{pmatrix} m & 2 & -1 \\[6pt] 1 & -3 & 1 \\[6pt] 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos \det A por expansão de Laplace na primeira linha:
\det A = m \begin{vmatrix}-3 & 1 \\[3pt] 0 & 2\end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix}1 & 1 \\[3pt] 1 & 2\end{vmatrix} + (-1)\begin{vmatrix}1 & -3 \\[3pt] 1 & 0\end{vmatrix}.
Agora cada menor:
\begin{vmatrix}-3 & 1 \\[3pt] 0 & 2\end{vmatrix} = -3\cdot2 - 1\cdot0 = -6, \quad \begin{vmatrix}1 & 1 \\[3pt] 1 & 2\end{vmatrix} = 1\cdot2 - 1\cdot1 = 1, \quad \begin{vmatrix}1 & -3 \\[3pt] 1 & 0\end{vmatrix} = 1\cdot0 - (-3)\cdot1 = 3.
Substituindo:
\det A = m(-6) - 2(1) + (-1)(3) = -6m - 2 - 3 = -6m - 5.]

Passo 4

Para o sistema ter solução única, precisamos de \det A \neq 0. Logo,
-6m - 5 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad m \neq -\frac{5}{6}.

Resposta

m \neq -\tfrac{5}{6}
Para qualquer valor de m diferente de -\tfrac{5}{6}, o sistema é possível e determinado (tem solução única).

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