Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformações lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de valores próprios e vetores próprios para transformações lineares. A gente tem uma transformação linear
definida por
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são valores próprios e vetores próprios, além de como encontrá-los usando matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear
como uma matriz. Em
, toda transformação linear pode ser escrita como uma matriz
de tamanho
. Assim, para
, a matriz correspondente é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) dessa matriz. Valores próprios são números
que satisfazem a equação:
Aqui,
é a matriz identidade
. Vamos calcular essa determinante.
Passo 4
Subtraímos
da diagonal principal de
:
A determinante dessa matriz é:
Passo 5
Vamos expandir a expressão:
Então, a determinante fica:
Passo 6
Agora, igualamos a determinante a zero para encontrar os valores próprios:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Então, os valores próprios são
e
.
Passo 7
Com os valores próprios encontrados, agora vamos determinar os vetores próprios correspondentes. Para cada
, resolvemos a equação
, onde
é o vetor próprio.
Primeiro, para
:
Passo 8
Resolvemos o sistema:
Isso reduz a uma única equação:
Podemos escolher
, então
. Portanto, um vetor próprio para
é:
Passo 9
Agora, para
:
Passo 10
Resolvemos o sistema:
Novamente, isso reduz a uma única equação:
Podemos escolher
, então
. Portanto, um vetor próprio para
é:
Resposta
Os valores próprios são
e
, com os respectivos vetores próprios: