Determinar os valores de a e b para que as retas
r:\left\{\begin{array}{l} x=1+a t \\\ y=2+b t, \\\ z=-1+2 t \end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\\ y=1+b t, \\\ z=-1+2 t \end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.\right.sejam
reversas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3\): \[r:\begin{cases} x=1+a\,t\\\ y=2+b\,t\\\ z=-1+2\,t \end{cases},\quad s:\begin{cases} x=2+u\\\ y=1+b\,u\\\ z=-1+2\,u \end{cases},
e pede a\] e \(b tais que r e s sejam reversas (não paralelas e sem ponto em comum).

Passo 2

Escrevemos cada reta na forma ponto + vetor-direção. Para r,
ponto A=(1,2,-1) e vetor \displaystyle u_r=(a,b,2).
Para s, ponto B=(2,1,-1) e vetor \displaystyle u_s=(1,b,2).

Passo 3

Condição de paralelismo: u_r e u_s são proporcionais se existir k tal que
(a,b,2)=k\,(1,b,2).
Das componentes, k=a e também 2=k\cdot2\implies a=1. Logo as retas são paralelas exatamente quando a=1.

Passo 4

Agora verificamos interseção assumindo parâmetros t em r e u em s.
Igualando coordenadas:
  1. 1+a\,t=2+u,
  2. 2+b\,t=1+b\,u,
  3. -1+2\,t=-1+2\,u.
Da terceira vem t=u. Substituindo em (1) dá (a-1)t=1, que tem solução se a\neq1. Mas na equação (2) com t=u obtemos
2+b\,t=1+b\,t\quad\Longrightarrow\quad2=1,
que é impossível para qualquer t,b. Portanto as retas nunca se intersectam, independentemente de a e b.

Resposta

As retas são reversas se e somente se não forem paralelas, ou seja,
\boxed{a\neq1,\quad b\in\mathbb{R}.}

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