Determinar os valores de a e b para que as retas
r:\left\{\begin{array}{l} x=1+a t \\\ y=2+b t, \\\ z=-1+2 t \end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\\ y=1+b t, \\\ z=-1+2 t \end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.\right.sejam
concorrentes;

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica. A reta r tem parâmetro t e vetor diretor (a,b,2), e a reta s tem parâmetro \tau e vetor diretor (1,b,2). Queremos valores de a e b para que exista um ponto comum a ambas (ou seja, elas sejam concorrentes).

Passo 2

Para que haja interseção, devem existir t e \tau tais que as coordenadas coincidam:
\begin{cases} 1 + a\,t = 2 + \tau,\\\\ 2 + b\,t = 1 + b\,\tau,\\\\ -1 + 2\,t = -1 + 2\,\tau. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação
-1 + 2\,t = -1 + 2\,\tau
segue imediatamente que
t = \tau.

Passo 4

Substituindo \tau = t nas duas primeiras equações obtemos
1 + a\,t = 2 + t \quad\text{e}\quad 2 + b\,t = 1 + b\,t.
A segunda delas reduz a
2 = 1,
que é um absurdo.

Passo 5

Como o absurdo independe de a e b, concluímos que não há escolha de a,b\in\mathbb{R} que faça as retas se encontrarem.

Resposta

Não existem valores reais de a e b que tornem as retas concorrentes.

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