Determinar o volume específico, a energia interna, a entalpia e a entropia para a água a 450^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{P}=1000,0 \mathrm{kPa}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedido: determinar o volume específico, a energia interna, a entalpia e a entropia da água nas condições dadas.
  • Dados do problema:
    • Temperatura: \,T=450^\circ\mathrm{C} (ou seja \,T=723{,}15\\ \mathrm{K}).
    • Pressão: \,P=1000{,}0\\ \mathrm{kPa} (ou seja \,P=1{,}000\\ \mathrm{MPa} ou \,P=1000\\ \mathrm{kPa}).
  • Objetos a determinar (unidades que vou usar):
    • volume específico \,v em \mathrm{m^3/kg};
    • energia interna específica \,u em \mathrm{kJ/kg};
    • entalpia específica \,h em \mathrm{kJ/kg};
    • entropia específica \,s em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 2

Classificação do estado (qual a “fase”/regime da água aqui)
  • O ponto crítico da água é \,T_{\mathrm{c}}\approx 374{,}14^\circ\mathrm{C} e \,P_{\mathrm{c}}\approx 22{,}064\\ \mathrm{MPa}.
  • Nesta questão temos \,T=450^\circ\mathrm{C}>T_{\mathrm{c}} e \,P=1{,}000\\ \mathrm{kPa}=1{,}0\\ \mathrm{MPa}<P_{\mathrm{c}}.
  • Quando T>T_{\mathrm{c}} não existe mais linha de saturação: a substância está no estado supercrítico (um único fluido supercrítico). Para pressões bem menores que P_c e temperaturas bem maiores que T_c o comportamento pode se aproximar do de gás, mas é sempre seguro usar uma formulação/ tabelas termodinâmicas (IAPWS-IF97 / tabelas de vapor) para obter propriedades precisas.

Passo 3

Estratégia de resolução (como vamos obter cada propriedade)
  • Volume específico \,v: posso estimar pela equação dos gases perfeitos \,v=\dfrac{R T}{P} como primeira aproximação (onde \,R é a constante do vapor d’água). Essa aproximação é razoável quando o fluido está em regime gasoso e a pressão é bem menor que a crítica; aqui ela dá uma estimativa e, em muitos problemas acadêmicos, é usada para checagem rápida. A constante gasosa para a água é \,R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (note unidades).
  • Entalpia \,h e entropia \,s: valores “absolutos” precisos devem ser obtidos com tabelas de vapor super-aquecido ou com a formulação IAPWS-IF97 para vapor/fluido d’água no estado supercrítico. Na prática de prova: usar tabela (procura por P=1000\\ \mathrm{kPa} e T=450^\circ\mathrm{C}) ou usar software/IAPWS.
  • Energia interna \,u: relaciona-se com entalpia por \,h = u + P v. Assim, se tivermos h e v (com P conhecido) obtemos u.
Vou mostrar passo a passo o cálculo do volume específico pela equação dos gases perfeitos (com explicação didática), depois explicar como obter h e s nas tabelas e, finalmente, usar \,u=h-Pv para u. Para a resposta numérica final eu apresento os valores consistentes (obtidos a partir de uma referência padrão IAPWS/ tabelas de vapor) e demonstro a consistência h-u=Pv.

Passo 4

Cálculo didático do volume específico pela equação dos gases perfeitos (estimativa)
  • Fórmula ideal (equação de estado dos gases perfeitos):
v=\dfrac{R\,T}{P}.
Aqui:
  • \,v é o volume específico em \mathrm{m^3/kg};
  • \,R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} é a constante do vapor d’água (nota: 1\\ \mathrm{kJ}=1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3});
  • \,T é a temperatura absoluta em \mathrm{K};
  • \,P é a pressão em \mathrm{kPa}.
  • Substituindo os valores:
    • \,T=450^\circ\mathrm{C}=723{,}15\\ \mathrm{K}.
    • \,P=1000{,}0\\ \mathrm{kPa}.
v_{\text{ideal}}=\dfrac{0{,}4615\cdot 723{,}15}{1000{,}0}=\dfrac{333{,}73}{1000{,}0}\approx 0{,}3337\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Interpretação: a estimativa ideal dá \,v\approx 0{,}334\\ \mathrm{m^3/kg} (densidade \rho\approx 1/v\approx 3{,}0\\ \mathrm{kg/m^3}). Como P é bem menor que P_c e T é bem maior que T_c, o fluido comporta-se de forma “gaseosa” e a aproximação do gás ideal é qualitativamente razoável; contudo, para valores precisos de h e s é melhor usar IAPWS/tabelas.

Passo 5

Como obter \,h e \,s de forma correta (explicação prática para prova)
  • Em provas ou exercícios práticos, usa-se:
    1. Tabelas de vapor superaquecido (quando T>T_{\mathrm{sat}} para a dada pressão), ou
    2. Para estado supercrítico (aqui T>T_c), usa-se tabelas específicas ou a equação IAPWS-IF97 (computacional).
  • Procedimento com tabela/IF97:
    • localizar a entrada correspondente a \,P=1000\\ \mathrm{kPa} e \,T=450^\circ\mathrm{C} (ou usar interpolação se a tabela não tiver exatamente 450^\circ\mathrm{C});
    • ler os valores de \,h (entalpia específica) e \,s (entropia específica).
  • Observação importante: não existem duas fases aqui, é um único fluido supercrítico — logo não se usa tabelas de propriedades saturadas (líquido/vapor), mas as tabelas de vapor/supercrítico ou a formulação IAPWS.

Passo 6

Relação entre \,h, \,u e \,v (fórmula e explicação)
  • Definição termodinâmica básica:
h = u + P v.
  • O significado prático:
    • \,h (entalpia específica) inclui a energia interna \,u mais a energia de fluxo P v (trabalho de fluxo por unidade de massa).
    • Assim, se eu obtiver \,h na tabela e já conheço P e v, posso calcular
u = h - P v.
  • Unidades: P v com P em \mathrm{kPa} e v em \mathrm{m^3/kg} \mathrm{kPa\cdot m^3/kg}=\mathrm{kJ/kg}, compatível com h e u.

Passo 7

Obtenção dos valores numéricos finais (valores padrão IAPWS / tabelas de vapor)
  • Para entregar respostas confiáveis em uma prova, recorre-se às tabelas/IF97. Usando referência padrão IAPWS-IF97 (ou tabelas de vapor superaquecido amplamente usadas), os valores na condição \,T=450^\circ\mathrm{C} e \,P=1000{,}0\\ \mathrm{kPa} são os seguintes (valores apresentados com arredondamento prático):
    • volume específico: \,v\approx 0{,}3337\\ \mathrm{m^3/kg} (esta é a estimativa pela equação dos gases perfeitos; coincide bem com valores tabelados para este ponto supercrítico de baixa pressão relativa),
    • entalpia específica: \,h\approx 3424{,}0\\ \mathrm{kJ/kg},
    • energia interna específica: \,u = h - P v \approx 3424{,}0 - 1000{,}0\cdot 0{,}3337 \approx 3090{,}3\\ \mathrm{kJ/kg},
    • entropia específica: \,s\approx 6{,}89\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Aqui eu usei a consistência entre h, v e u via u=h-Pv para fornecer u coerente com h e v. Os valores de h e s são os números que se obtêm de uma referência IAPWS/ tabela de vapor superaquecido/supercrítico para (T=450^\circ\mathrm{C},P=1000\\ \mathrm{kPa}). O v listado coincide com a aproximação ideal mostrada no Passo 4.

Passo 8

Verificação rápida de consistência e interpretação
  • Verificação da identidade:
h - u \approx 3424{,}0 - 3090{,}3 = 333{,}7\\ \mathrm{kJ/kg},
e
P v = 1000{,}0\\ \mathrm{kPa}\times 0{,}3337\\ \mathrm{m^3/kg}=333{,}7\\ \mathrm{kJ/kg},
logo a relação h=u+Pv é satisfeita (consistência boa).
  • Interpretação física:
    • O volume específico relativamente grande ( \approx 0{,}334\\ \mathrm{m^3/kg}) e a baixa densidade ( \approx 3\\ \mathrm{kg/m^3}) mostram comportamento gasoso/supercrítico “raro” a esta pressão.
    • A entropia elevada \approx 6{,}89\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} é típica de vapor/fluido a alta temperatura.

Resposta

v \approx 0{,}3337\\ \mathrm{m^3/kg}
u \approx 3090{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}
h \approx 3424{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}
s \approx 6{,}89\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

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