Devido à lenta oxidação das partículas, uma camada de carvão com 1 m de espessura ( k=0,26 \mathrm{W} / \mathrm{m} / \mathrm{K} ) gera energia térmica a uma taxa volumétrica \dot{q}=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}). A superfície superior da camada está exposta ao ar ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C}, com \mathrm{h}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} / \mathrm{K} e recebe irradiação solar a uma taxa \mathrm{G}_{\mathrm{s}}=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. A superfície possui \varepsilon=\alpha=0,95.
(d) Represente em um gráfico a distribuição de temperatura e analise fisicamente o comportamento do campo de temperaturas;
Passo 1
O enunciado (parte d) pede duas coisas:
Representar em um gráfico a distribuição de temperatura na espessura da camada de carvão (espessura L=1\\ \mathrm{m}).
Analisar fisicamente o comportamento do campo de temperaturas.
Os dados fornecidos (peguei todos do enunciado) são:
Irradiação solar incidente: G_{s}=400\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} e absorvidade \alpha=0{,}95 (logo a irradiância absorvida é \alpha G_s).
Emissividade da superfície: \varepsilon=0{,}95.
Constante de Stefan–Boltzmann: \sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4} (usar quando linearizar radiação).
Observação importante (decisão necessária): o enunciado não especificou a condição de contorno na superfície inferior (x=L). Para poder calcular e traçar a solução escolhi a hipótese usual e simples que permite progressão clara: vou assumir que a superfície inferior é isolada (adensada), isto é, condição de Neumann \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=L}=0. Se a condição de contorno inferior fosse outra (por exemplo, temperatura fixa ou convecção com o solo), a forma final muda; ao longo explico rapidamente como mudaria.
Passo 2
Modelo físico e equação a resolver (1D, regime estacionário):
Como a camada é espessa e assumimos que o problema é unidimensional ao longo da espessura, a equação de conservação de energia em regime permanente com geração volumétrica uniforme é
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=-\frac{\dot{q}}{k},
onde x é a coordenada medida a partir da superfície superior (x=0) para o interior (x=L). Explicando as variáveis:
T(x) é a temperatura em função de x.
\dot{q} é a taxa volumétrica de geração de calor (\mathrm{W}/\mathrm{m}^3).
k é a condutividade térmica (\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}).
Condições de contorno usadas:
Superfície superior (x=0): balanço de fluxo incluindo condução interna, convecção e radiação para o ambiente e ainda a irradiância solar absorvida. Para linearizar convenientemente a radiação usamos a aproximação de linearização ao redor da temperatura ambiente T_{\infty} (método padrão em problemas de engenharia):
radiação linearizada: \varepsilon\sigma\left(T_{s}^{4}-T_{\infty}^{4}\right)\approx h_{r}\,\left(T_{s}-T_{\infty}\right), com
h_{r}=4\varepsilon\sigma T_{\infty}^{3}.
Assim, o termo de troca total superficial é h_{\text{tot}}=h+h_{r}.
O balanço de fluxos na superfície (sinal positivo para fluxo para fora da camada) é
-k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=h_{\text{tot}}\left(T(0)-T_{\infty}\right)-\alpha G_s.(Explicação: o termo \alpha G_s é calor absorvido na superfície; a condutividade fornece o fluxo vindo do interior; a convecção+radiacão remove calor para o ambiente.)
Superfície inferior (x=L): isolamento
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L}=0.
Passo 3
Linearização da radiação e cálculo de h_{r} e h_{\text{tot}}.
Calculo de h_{r} usando T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}:
Esta forma física é intuitiva: a diferença entre o calor absorvido na superfície (\alpha G_s) e o calor que vem do volume por geração (\dot{q}L) divide-se pelo coeficiente de troca total para dar o desvio de temperatura da superfície em relação ao ambiente.
Passo 5
Substituição numérica e expressão final da distribuição.
T(1)\approx 97{,}08^\circ\mathrm{C} (superfície inferior isolada, temperatura máxima).
Passo 6
Como traçar o gráfico (instruções práticas para a prova ou para gerar no papel):
No eixo horizontal coloque a coordenada x de 0 (superfície exposta) a 1\\ \mathrm{m} (fundo isolado). No eixo vertical a temperatura T em graus Celsius.
Plote os pontos calculados acima e ligue por uma curva parabólica côncava para baixo (pois \dfrac{d^{2}T}{dx^{2}}=-\dfrac{\dot{q}}{k}<0). A curva começa em T(0)\approx 58{,}6^\circ\mathrm{C}, sobe continuamente até T(1)\approx 97{,}1^\circ\mathrm{C} e tem inclinação nula em x=1.
Visualmente, será uma parábola que sobe mais rapidamente perto da superfície média e “achata” próximo do fundo (slope tende a zero em x=1).
Passo 7
Análise física do comportamento do campo de temperaturas (intuitiva e didática — fique tranquilo, eu também fico aliviado quando a física faz sentido!):
A irradiância solar \alpha G_s=380\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 é muito maior que a geração volumétrica total integrada pela espessura (\dot{q}L=20\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2). Logo a principal fonte de aquecimento presente é o sol que aquece diretamente a superfície superior.
Mesmo assim, há geração volumétrica interna, que aquece o interior (e empurra calor para cima). Como a superfície inferior foi assumida isolada, todo o calor gerado no volume e absorvido na superfície tem que ser removido para o ambiente através da superfície superior.
O fato de a segunda derivada ser negativa (d^{2}T/dx^{2}=-\dot{q}/k<0) implica que o perfil é uma parábola côncava para baixo. No nosso caso isso faz com que a temperatura aumente com x (do topo para o fundo) porque a inclinação inicial é positiva (dT/dx(0)>0): a superfície é mais fria que o interior.
A temperatura máxima está no fundo (x=1\\ \mathrm{m}). Isso acontece porque o fundo está isolado: calor não sai por ali, então o acúmulo é maior mais abaixo. Se o fundo estivesse mantido a 25^\circ\mathrm{C} (caso diferente), a máxima poderia estar no interior, mas com valores menores.
A contribuição radiativa linearizada aumentou o coeficiente de troca superficial de 5 para cerca de 10{,}71\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}. Isso reduz a temperatura de superfície em comparação com o caso sem radiação, porque a superfície perde calor mais facilmente.
Ordem de grandeza: a superfície está a cerca de 59^\circ\mathrm{C} e o fundo a cerca de 97^\circ\mathrm{C}. Portanto, existe um gradiente significativo e temperaturas elevadas no interior — consequência direta da combinação de isolamento inferior e geração interna, com forte aporte solar na superfície.
Reduções/efeitos: aumentar h (mais vento) ou diminuir \alpha (mais reflexão) diminuiria T(0) e, consequentemente, todas as temperaturas internas; se o fundo não fosse isolado (por exemplo, contato com solo frio), as temperaturas máximas cairiam notavelmente.