Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das equações y = x^2, e y = x^3 * (2 pi / 35)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o volume de um sólido de revolução que é formado ao girar, em torno do eixo dos , a região delimitada pelas curvas das equações e . Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para resolver isso.

Passo 2

Para encontrar o volume do sólido de revolução, precisamos identificar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso nos dará os limites de integração. Igualando as duas equações:
Podemos dividir ambos os lados por (considerando ):
Resolvendo para :
Além disso, temos a interseção em . Portanto, os limites de integração são de a .

Passo 3

Agora, vamos determinar qual das duas funções está acima da outra no intervalo considerado. Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima de no intervalo de a .

Passo 4

Para calcular o volume do sólido de revolução, utilizamos a fórmula do disco:
Onde:
  • (função superior)
  • (função inferior)
  • e (limites de integração)

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Simplificando os termos dentro da integral:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Calculando as integrais:
Então:

Passo 7

Substituindo os limites de integração:
Simplificando as expressões:
Simplificando mais:

Resposta

O volume do sólido de revolução é:

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