Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o volume de um sólido de revolução que é formado ao girar, em torno do eixo dos
, a região
delimitada pelas curvas das equações
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para resolver isso.
Passo 2
Para encontrar o volume do sólido de revolução, precisamos identificar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso nos dará os limites de integração. Igualando as duas equações:
Podemos dividir ambos os lados por
(considerando
):
Resolvendo para
:
Além disso, temos a interseção em
. Portanto, os limites de integração são de
a
.
Passo 3
Agora, vamos determinar qual das duas funções está acima da outra no intervalo considerado. Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
no intervalo de
a
.
Passo 4
Para calcular o volume do sólido de revolução, utilizamos a fórmula do disco:
Onde:
-
(função superior) -
(função inferior) -
e (limites de integração)
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Calculando as integrais:
Então:
Passo 7
Substituindo os limites de integração:
Simplificando as expressões:
Simplificando mais:
Resposta
O volume do sólido de revolução é: