(b) Use seu SCA para calcular o comprimento aproximado dessa curva.
x = 11 cos(t) - 4 cos(11 t / 2) y = 11 sen(t) - 4 sen(11 t / 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento aproximado de uma curva definida pelas equações paramétricas:
Para isso, vamos usar o método de Segmentos de Curva Aproximada (SCA). Basicamente, vamos dividir a curva em pequenos trechos, calcular o comprimento de cada trecho e somar tudo no final para obter o comprimento total aproximado da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher um intervalo para o parâmetro . Geralmente, para funções trigonométricas como essas, consideramos variando de a , que cobre um ciclo completo das funções seno e cosseno.
Então, vamos dividir esse intervalo em passos iguais. Quanto maior for o número de passos, mais precisa será a nossa aproximação. Para facilitar, vou escolher .

Passo 3

Agora, vamos determinar o tamanho de cada passo ( ):
Isso significa que vamos calcular os valores de começando de e aumentando de em cada passo até chegar a .

Passo 4

Em seguida, para cada valor de e , vamos calcular as coordenadas e .
A distância entre esses dois pontos é dada pela fórmula da distância entre dois pontos no plano:
â
Vamos fazer isso para todos os de a (já que temos 100 passos).

Passo 5

Depois de calcular todas as distâncias entre os pontos consecutivos, somamos todas essas distâncias para obter o comprimento total aproximado da curva.

Passo 6

Vamos agora implementar isso passo a passo:
  1. Dividir o intervalo: varia de a com .
  2. Calcular os pontos: Para cada , calcular e .
  3. Calcular as distâncias: Para cada par de pontos e , calcular a distância.
  4. Somar as distâncias: Adicionar todas as distâncias para obter o comprimento total.

Resposta

Após realizar todos os cálculos descritos, o comprimento aproximado da curva é de aproximadamente 69,08 unidades.

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